有限元思路
我给本科上有限元课时，有的学生对最小势能原理的导出以及如何从最小势能原理导出结构节点为宜列矢量的求解方程不是很理解，于是我就从弹性力学的相关部分出发推导了一下，现在发布出来，希望对那些入门者有所启发，同时也欢迎各位指教。tonnyw 发表于 2014-10-23 23:44
"严格意义上，只有等效积分形式才是强形式的"
》》这点我不认同。实际上我不理解”等效积分“的意思。
前面那部分，我们存异吧，后面的例子，我再看看。很高兴能在论坛上有这样的交流，谢谢！ 补充一下，弱解这个概念你认为是建立在函数论的范畴，我以为太宽泛了，我觉得是建立在Soblev空间，Lebesgue积分（或测度）以及广义函数的基础上的。 本帖最后由 tonnyw 于 2014-10-25 09:50 编辑
liuichini 发表于 2014-10-24 22:29
回ggbbggb网友，等效积分形式和其弱形式至少从形式上是不等效的。
个人直觉认为，集中力之类的东西在积分 ...
用D表示微分方程： -u'' = f 0<x<1, u(0) = u(1) = 0
W表示弱形式: (u', v') = (f, v)
这里的v应该满足以下调价：1. v在 0<x<1上连续， v'应该分片连续并且有界。
我们想知道两者是否等价：D<->W
针对上面提出的例子可以看出：
如果u满足D，那么u一定满足W，即：D->W
如果u满足W，并且二阶连续的话，那么u一定满足D, 即W->D
所以只有二阶导数连续的情况下，D和W才等价。等价是对u的连续性有要求的。
"因为采取分片逼近策略，导致近似解答的连续性要求降低，从而导致解答精度降低“
》》这一点不明白。首先我们有偏微分方程，称之为强形式，然后我们有弱形式，降低了对导数的连续性的要求。强形式和弱形式只有当解充分光滑时才是等价的，而且强弱两种表达都是定义在连续空间上的。这里没有引入任何形式的离散，不能说因为采取分片逼近的策略，导致了连续性降低。连续性要求的降低是由弱形式本身积分形式决定的。 tonnyw 发表于 2014-10-23 12:32
"因为采取分片逼近策略，导致近似解答的连续性要求降低，从而导致解答精度降低“
》》这一点不明白。首先我 ...
还是tonnyw斑竹厉害，这是我去年写的，当时怎么想的，我已经忘了，今年又讲这门课，拿出来给学生的时候，看了一眼，看到这里自己也是觉得有些奇怪。之所以给学生前没有修改，倒也有些理由，个人感觉是，我的讲法里缺了一个（或若干个）环节，也就是整个逻辑链条不够完整。只是过去了因为忙于别的事情就没有再管。等哪天我再想想，完善这一段。
谢谢你的斧正！ 另外，按照王勖成的说法（我这人看书不求甚解，只是在当年因为做硕士论文工作需要，狂啃了一通OCZ的书，看的比较仔细，再后来就没有认真看过别的书了），强形式和弱形式都是针对等效积分来说的，当然，微分形式的肯定是强形式，这个没问题。
我有个问题倒是想向你请教一下，严格意义上，只有等效积分形式才是强形式的，我个人认为，建立在泛函变分基础上的等效积分形式似乎也是弱形式的，因为无论是变分，还是虚位移（或者虚应力）实际上都不可能是任意的，一旦刨去了任意性，泛泛地说，微分形式和积分形式的等效性也就成问题了。
不过，我不是很肯定，因为貌似对等效积分形式中的任意函数的任意性确实可以放宽要求，仍然可以采用反证法从积分形式的成立导出矛盾来，从而证明积分形式与微分形式的等效性。
不知是否不按照等效积分形式这个套路去思考，也可以得出类似的结论。即不是先假设有微分形式的定解问题，而是先直接建立问题的泛函，然后从变分原理出发严格导出微分形式的定解问题。我猜想应该是可能的。 liuichini 发表于 2014-10-23 13:12
另外，按照王勖成的说法（我这人看书不求甚解，只是在当年因为做硕士论文工作需要，狂啃了一通OCZ的书，看 ...
"严格意义上，只有等效积分形式才是强形式的"
》》这点我不认同。实际上我不理解”等效积分“的意思。
我们有强形式（微分格式）和弱形式（积分格式）。这是同一问题的两种表述。现在我们要知道两种格式是否等效/等价：强形式的解是否弱形式的解，反之亦然？ 如果解是光滑的话，两者等效。如果解不是光滑的，比如解奇异，那么两者就不等价。Oden在他的书里提到了一个例子,置于弹性支承的两端固定的弦，中间单位点载荷，表达式如下：
-u'' + u = delta(x-1/2),0<x<1
u(0) = u(1) = 0
这里delta(x-1/2)为Dirac函数。
我们可以看到在此强形式中，在x=1/2处解是不存在的，而在弱形式中，在x=1/2, 解是存在的。弱形式的一个奇妙之处在于它能够让我们考虑非正则的解。 都是大神啊，最近也要看有限元的书了… liuichini 发表于 2014-10-24 07:51
前面那部分，我们存异吧，后面的例子，我再看看。很高兴能在论坛上有这样的交流，谢谢！ ...
我也奇怪什么叫等效积分形式，因此翻看了王大侠的大著。书中的意思似乎是，某一积分方程如与某微分方程等效（这个等效概念有些暧昧，如连续性要求就不等效），则该积分方程是微分方程的等效积分形式。"只有等效积分形式才是强形式的"云云is definetly wrong!
在这一点上，我认为tonnyw版主的描述是准确的. tonnyw 发表于 2014-10-23 23:44
"严格意义上，只有等效积分形式才是强形式的"
》》这点我不认同。实际上我不理解”等效积分“的意思。
关于你所引的这句话，我再解释一下。我在论坛码字都是临屏的，这就带来一个问题，有时就会不准确。
应该说我那段话有些问题。我本意是想说，把王勖成介绍的三类积分形式（或者两类）——等效积分形式、线性自伴随微分方程的变分方程以及弹性力学的最小势能原理（当然，教材上实际是从虚功原理开始介绍，因此部分内容不仅仅适用于弹性力学）进行比较的话，只有第一类等效积分形式才是严格意义上的等效。
————————
兼回hillyuan。 本帖最后由 liuichini 于 2014-10-24 12:21 编辑
再回hillyuan，
那个等效概念并不暧昧。如果不做离散，不做近似，两者确实是等效的，也就是说，如果一个函数矢量是原微分方程的解答，那么就一定是相应的等效积分方程的解答，反之亦然。 照猫画虎，顺着你的材料，我也列出自己的一点理解，请指正。
tonnyw 发表于 2014-10-24 10:52
照猫画虎，顺着你的材料，我也列出自己的一点理解，请指正。
不敢说指正，但确实有两处我认为值得商榷：
1、积分形式里，应该对v和v_bar加一个条件，按照数学的说法大概就是对于所有的属于索伯列夫空间的任意函数之类的，王勖成炮制的是力学教材，就顾不上那么严谨，先来了个任意，然后做了一些补充，如可积之类的说法；否则的话，无法推出逆命题（如果说从微分到积分是正命题的话）；
2、所谓Galerkin法，对权函数的选取是有限制的，只有当我们假设u_bar=Niai（这里_bar表示是u上面加一杠，i是下标，因为不好输入求和符号，就用了一把老爱的求和记号），取wi=Ni时，才是Galerkin法，否则不能叫Galerkin法。 实际上，王勖成的大部分描述都是抄自OCZ的那本经典（尽管我不喜欢，但既然大家都认为是经典，我也不妨称作经典吧） liuichini 发表于 2014-10-24 12:19
不敢说指正，但确实有两处我认为值得商榷：
1、积分形式里，应该对v和v_bar加一个条件，按照数学的说法大 ...
1、积分形式里，应该对v和v_bar加一个条件，按照数学的说法大概就是对于所有的属于索伯列夫空间的任意函数之类的，王勖成炮制的是力学教材，就顾不上那么严谨，先来了个任意，然后做了一些补充，如可积之类的说法；否则的话，无法推出逆命题（如果说从微分到积分是正命题的话）；
》》v 和 u属于同一个空间，这个空间内的所有函数能量有限。
2、所谓Galerkin法，对权函数的选取是有限制的，只有当我们假设u_bar=Niai（这里_bar表示是u上面加一杠，i是下标，因为不好输入求和符号，就用了一把老爱的求和记号），取wi=Ni时，才是Galerkin法，否则不能叫Galerkin法。
》》你说的对。只不过这里Ni要在整个求解域上满足essential边界条件，这一点不容易做到，而有限元没有这类困难。 可能不同作者的weak form 的理解会有微妙的差别,要看context。
1 我们可以说strong form 和 weak form 是完全等价的 数学描述，在这个意义上，没有涉及FEM， 要求 weight function 可以取任意函数 （条件实际可以放宽一点， 如针对一维second-order 微分方程w 在位移边界条件上为0），这可能是等效积分的意思。在这里，位移场函数u 属于function space H1(admissible trial solution， also smooth enough）， w属于 H0 （admissible weight function）
2 有时，我们谈 有限元的 weak form，在这个FEM框架中 （如Galerkin）weight function取了形函数 N（x），u被插值了，这个FEM的weak form 跟原strong form 并非等价，所以跟1 中的 weak form 不同。在FEMweak form中，位移场函数u 生活的空间小了， u=sigma Niui，ui是任意的，这个function space 叫U（h），U（h）包含于 H1，而w属于U0（h）。对有些情况（如self adjoint中文好像翻译为自洽，这种情况会导致 a natural variational principle），那么solution to FEM weak form 会minimize error in terms of energy norm， 所以 in terms of energy norm，solution to FEM weak form 是“最好”的.这个意思也是从能量误差范数的角度在U（h）中满足FEM weak form 的 solution 是 “最好的”。
但是在考虑等价时，我们常假定“存在连续光滑”是已知的。Tonnyw版主提到的集中力情况，很好的说明了这点，（一个集中力作用在一块板上，或结构力学中梁作用有以集中力）， strong form 中对这些情况的解答是 在该处无解（nonsensical when viewed locally），但是照样可以有weak form or variational setting of these。在这个意义来说，变分或weak form给approximate solution提供了一条路。
ggbbggb 发表于 2014-10-24 21:09
可能不同作者的weak form 的理解会有微妙的差别,要看context。
1 我们可以说strong form 和 weak form 是完 ...
2 有时，我们谈 有限元的 weak form，在这个FEM框架中 （如Galerkin）weight function取了形函数 N（x），u被插值了，这个FEM的weak form 跟原strong form 并非等价，所以跟1 中的 weak form 不同。在FEMweak form中，位移场函数u 生活的空间小了， u=sigma Niui，ui是任意的，这个function space 叫U（h），U（h）包含于 H1，而w属于U0（h）。对有些情况（如self adjoint中文好像翻译为自洽，这种情况会导致 a natural variational principle），那么solution to FEM weak form 会minimize error in terms of energy norm， 所以 in terms of energy norm，solution to FEM weak form 是“最好”的.这个意思也是从能量误差范数的角度在U（h）中满足FEM weak form 的 solution 是 “最好的”。
》》多说两句。
有的时候需要H2空间。对于线性椭圆问题，相对能量误差，在所有的数值估计中，有限元解是最好的估计，正是基于这一特性，我们才能够引入插值误差得到有限元解的收敛特性，对于光滑解其能量误差为C*h^p,这里C为常数，h最小单元尺寸，p多项式次数。
泛函极值问题和弱形式等价才能使用变分，这需要弱形式满足Vainberg定理。 liuichini 发表于 2014-10-24 10:44
关于你所引的这句话，我再解释一下。我在论坛码字都是临屏的，这就带来一个问题，有时就会不准确。
应该 ...
把这个补充完，
这里重新码过的文字，是我在请教tonnyw版主前的一个想法，就在码字（第一次给出不准确表述的时候），我突然意识到，很可能，无论是线性自伴随微分方程组的泛函变分方程还是弹性力学的最小势能原理，虽然从形式上看，应该是放宽了积分形式里那个任意函数（矢量）的任意性（至少是从其按照等效积分形式给出的证明过程来看），但貌似仍然可以给出逆命题的证明，也就是说，原来的等效积分形式的表述里对那个任意函数的任意性的要求是充分条件而不是必要条件。
码这段文字时，我想应该还有变分方程的其他推导方式吧，毕竟我已经好多年没有看这方面的东西了。哪天有空了，再好好看看变分。 回ggbbggb网友，等效积分形式和其弱形式至少从形式上是不等效的。
个人直觉认为，集中力之类的东西在积分形式里照样可以反映出来，按照tonnyw版主的说法是，所谓强形式是指微分形式，集中力的作用下只能说不存在连续的应力解。
按照王勖成的书里对等效积分形式的表述（实际上也就是OCZ的表述，王著实际上是抄的），可以严格证明两者是等价的（积分形式和微分形式）。 tonnyw 发表于 2014-10-24 22:13
2 有时，我们谈 有限元的 weak form，在这个FEM框架中 （如Galerkin）weight function取了形函数 N（x） ...
Reddy （第三版）把加权积分形式的weak form 也叫做变分，第二章有相当篇幅在谈这些，我copy最直接的一句 The modern use of the phrase (在这指variational formulation）refers to the formulation in which the governing equations are translated into equivalent weighted- integral that are not necessarily equivalent to a variational principle (variational principle 还是指老的通过对functional 求极值形式）。所以reddy用一句话来描述FEM can be viewed as an elementwise of a variational method.（reddy 第二版好像没有这样称呼）。
当然我们大部分还是坚持老的分类，就像大Z那样（同版主的说法），把variational 和weighted-integral 分开。 本帖最后由 ggbbggb 于 2014-10-24 23:00 编辑
liuichini 发表于 2014-10-24 22:29
回ggbbggb网友，等效积分形式和其弱形式至少从形式上是不等效的。
个人直觉认为，集中力之类的东西在积分 ...
形式是不同，但是只要strong form （微分方程） make sense，一定可以等效转换为积分形式的weak form提法！这个是变分中的一个Lemma (很好的参考书 Thomas Hughes 1987）。