有限元思路

tonnyw

tonnyw 发表于 2014-11-1 22:59
现在我的问题来了，对于线性问题使用能量泛函然后应用变分原理，理解起来没有问题。但是对于非线性问题， ...

对于非线性问题，一般都是增量形式，那么面力 f 所导致的虚功，应该是 int_Omega( f * delta u)，这里包含的前提条件应该是，在发生位移 delta u 时， delta u必须微小增量，这样才能使面力大小方向保持不变，这又回到了我们最初讨论的问题：由于虚位移是微小增量，所以我们有 f*delta u = delta(f*u), 我不知道我的逻辑错在哪里了。请帮忙指出。

ggbbggb

tonnyw 发表于 2014-11-2 00:32
对于非线性问题，一般都是增量形式，那么面力 f 所导致的虚功，应该是 int_Omega( f * delta u)，这里包 ...

你这里的逻辑在于delta u 小 所以f不变，还原了前面的讨论。

这个虚位移和变分原理属于比较高级的内容，我们让Hillyuan老师 chime in，他是almighty强威。

tonnyw

ggbbggb 发表于 2014-11-2 01:09
你这里的逻辑在于delta u 小 所以f不变，还原了前面的讨论。

这个虚位移和变分原理属于比较高级的内容， ...

谢谢，晚安。

这是徐芝纶的关于变分原理的部分，网上搜到的不够清晰。这里讨论的都是弹性小变形问题，徐先生假设的虚位移都是微小变量。等着hillyuan来解惑。

liuichini

ggbbggb 发表于 2014-11-2 00:24
关于你讲的 这些 看了有点糊涂。  “。。故有。。”也是直觉 ？

哈哈，那个直觉写的很清楚呀，是针对后面的那段话，跟我原来的“故有”没关系，至少是没有直接关系。
其实，徐著的推导是有前提的，那就是线弹性范围内，（线性的）几何方程得到满足，我记得虚位移有一个说法就是几何可能的位移，也就是要满足几何方程。
顺便说一句，用徐著的推导方式好，还是采用虚位移与应力边界条件无关与平衡方程无关（也就与弹性力学意义上的载荷即体积力无关）更好，我也说不上来。
总之，不管我是否同意你和tonnyw版主的质疑（有的采纳了），这种质疑对我而言都非常有益，我属于懒人，加上一忙，有些概念就没有深究，很多时候也想深究一下，可总是被别的事情打断，趁着和各位讨论的时候也琢磨了一下，挺好的，而且多数时候一个人究不如大家一起究。所以，谢谢了！

ggbbggb

liuichini 发表于 2014-11-2 10:02
哈哈，那个直觉写的很清楚呀，是针对后面的那段话，跟我原来的“故有”没关系，至少是没有直接关系。
其 ...

提出问题，不管是正方还是反方，有争议才有进步。
我就未读过一本中文的讲弹性力学变分的书（手头上倒是买了 付宝莲），徐的弹力是在翻译铁摩辛柯的基础上改编的，书上讲的这些公式本身似乎可以，但就文字推敲来说，我觉得很蹩脚， 353第一段，难道也是铁摩辛柯 的观点？？

hillyuan

没有追踪全部讨论，下面我讲一讲46楼以下关于虚位移相关的看法。（我将用tex格式写出数学式，如不明白，请参考相关文献）

1。对任意泛函f(a,b,c,..)的变分
    \delta{f}=\partial{f}/\partial{a}*delta{a} + \partial{f}/\partial{b}*delta{b} +...
    具体到 w = fu. 其变分为 \delta{w} = f*\delta{u} + u*\delta{f}. 但是在位移型有限元中，我们假设其他物理量都是位移的函数， 因此上式写为 \delta{w} = f*\delta{u} + u*\partial{f}/\partial{u}*\delta{u}

2.  \delta{w} = f*\delta{u}只有在\partial{f}/\partial{u}=0时成立。虽然在大多数情况下该条件成立，但是有时该项不能忽视。如在静压成形等固-流相互作用（FSI）问题中，静水压方向随变形剧烈变化。这时老老实实的作法是在变分式中记入该项，并最终进入全体刚阵。

3。变分是满足边界条件的假想的任意微小变量。在位移型有限元中我们经常见到虚位移，虚位移即位移的变分。但要注意有限元并不局限于位移型。 如我们用Lagrangian乘数法求解接触问题，这里导入的Lagrangian乘数不是位移，其物理意义是接触力，Lagrangian乘数的变分是"虚力"，这是混合形的有限元。Hu-Washizu变分中甚至包含应力的变分，应变的变分。参照虚位移，我们可以称其为虚应力，虚应变，虽然似乎没有见过这样的说法。

4。变分原理是一种放之四海皆准的方法，与弹性非弹性，线性非线性无关。只不过，由于我们假设微小变形问题中，变形体变形前后的构型不变，此时 \delta{w} = f*\delta{u}（?）

   

ggbbggb

多谢hillyuan老师的加入和拓宽讨论的视野！加一些杂谈。

在虚位移原理中，有几个提法，delta U= delta W, delta Wi=delta We， delta Wi+ delta We=0 （Oden， Washizu） 这几个模式由于自己的定义最后数学上是一样的。我是结构工程的，习惯了外虚功=内虚功的说法 （龙驭球，Bathe）。该定理的证明，由于现在有了张量记法，充分必要证明也没那么复杂，之前老的证明似乎由于Southwell （英国三大弹力大师之一，另2个是AHE LOVE, AE GREEN）. 它是原理，已被证明，我们就可以居于它衍生别的理论。

在最小势能原理和虚位移原理中， W =f u， delta W = f * delta u +u *delta f =f * delta u 这个结论在 Washizu 的 弹塑性变分法 书 中 是作为 assumption 出现的，在这个assumption的前提下，才可以虚位移原理 推导出 最小势能原理。见p6 （copy一点， "When the existence of a strain energy function is assured and the external forces are assumed to be kept unchanged during displacement variation, the principle of virtual work  leads to ..."， 这里的虚功原理指虚位移原理）这一点和版主57楼一致，这个说法还是更科学的。就像我在前面指出的，在非最小势能原理/虚位移原理中，我们没有这个assumption 。前面的一些讨论集中在f 保持不变(也即上面这个被Washizu认为是assumption的东西） 是否是由于delta u的微小引起的，原此楼主的那个“虚位移微小，故有。。。”。


因为这些原理中有好几个容易混淆的概念。在总势能 中涉及到真实位移， 而变分之后就变成虚位移。在最小势能原理中 W=f u，如果不是保守力，这样的定义就失去意义了。所以我们强加这一条件。但要注意在真实位移 （产生变形时），f 是从0增加到最后值得，对线弹性体，f做的真工其实是（W） 的 1/2,而这个真工根据真实能量守恒=strain energy(U)本身， 所以总势能pi= U-W=strain energy-f u=-1/2W=- U, 真实位移使得pi最小，也即使得U最大，所以有限元给出的近似解给出了真实U的一个lower bound。 所以位移有限元给出的近似解整体上偏小（这当然并不保证每一个节点处的位移都比真实位移小），一个勉强的物理解释就是由于强加了位移约束使得无限自由度变成有限自由度使得结构整体偏刚。注明：如果认为f在u=0时就存在，而在之后真实变形时保持不变，那么这里就会产生一个动力效应，我们谈变形体的静力严格来说是quasi-static，真正的static只有对rigid body。

注明一下，我在前面指出的最小势能原理只适用弹性 （包括线性弹性和非线性弹性）指的是 PI= U-W=U-f u 对这样一个PI极值，该定理和卡式第一定理是等价的， 而卡式第二定理只适用于线弹性（证明中利用了只有在线弹性才有的应变能密度u=互补能密度u*）。跟hillyuan 老师谈的变分原理是普遍原理并没有矛盾的地方。 因为我U是strain energy （也就是当外力移走后这个U会恢复到0）。

hillyuan

ggbbggb 发表于 2014-11-2 22:13
多谢hillyuan老师的加入和拓宽讨论的视野！加一些杂谈。

在虚位移原理中，有几个提法，delta U= delta W,  ...

基于势能原理的偏刚。maybe see here(p27) http://www.colorado.edu/MCEN/MCEN5023/chap_08.pdf

tonnyw

ggbbggb 发表于 2014-11-2 22:13
多谢hillyuan老师的加入和拓宽讨论的视野！加一些杂谈。

在虚位移原理中，有几个提法，delta U= delta W,  ...

如果我没记错的话，一开始我们的焦点主要是集中在虚位移是否应该是微小的变量，微小到在其变化的过程中，体力或者面力在此期间大小方向保持不变。我翻了翻书，附上点心得。我现在的理解是虚位移应该是微小变量。虚位移和test function是两个不同的量，它们之间只是差一个很小的倍数。test function 只要满足位移边界条件并且能量有限即可，而虚位移应该是微小的可允许的位移。

545429645

正在着手有限元，希望有帮助

hillyuan

tonnyw 发表于 2014-11-5 00:59
如果我没记错的话，一开始我们的焦点主要是集中在虚位移是否应该是微小的变量，微小到在其变化的过程中， ...

基本的地方有错误！

比如说附文的前半，你计算了Pi的全微分（我不用变分这个词，因为这好懂一些。另外，如将你公式中的变分符号delta改为微分算符d, 在数学上是等价的）。你的推导过程好像: 求一函数f(x,y)的全微分，则
df(x,y) = \partial f/\parial x *dx
因为你相信(I still maintain) dy<<dx!  

Why? 信念是代替不了数学的！

tonnyw

hillyuan 发表于 2014-11-6 11:31
基本的地方有错误！

比如说附文的前半，你计算了Pi的全微分（我不用变分这个词，因为这好懂一些。另外， ...

我没有采用全微分呀。

我的推导只是在说明如果u是Pi的minimizer的话，我们会得到什么结果，结果是Pi的一阶变分应该为零。实际上一阶变分有严格的数学定义，就是我后半部分提到的偏导数。我用两种方法，一种是给精确解一个摄动 delta u(虚位移），一种是严格的数学定义，即给出泛函后，求其在精确解处的一阶变分，两种方法给出相同的弱形式。从数学定义可以看出对于任意容许函数v，我们选择kappa*v在kappa接近0时，求偏导数，这里的kappa*v就是虚位移。

hillyuan

tonnyw 发表于 2014-11-6 12:59
我没有采用全微分呀。

我的推导只是在说明如果u是Pi的minimizer的话，我们会得到什么结果，结果是Pi的一 ...

Do you really think you could get your result without the so-called "I still maintain"? Your first variation is definitly wrong without its supposition. And the problem is that it seems like that you don't think it is a supposition but mathematically strict.

Just forget all others! Tell me why "I still maintain".

Following is an example of fisrt variation. Hope helpful.

tonnyw

hillyuan 发表于 2014-11-6 13:40
Do you really think you could get your result without the so-called "I still maintain"? Your first  ...

As you can see in the figure you attached here, the function phi has to be small. Otherwise, higher oder terms cannot be neglected in Taylor series expansion.

Let me explain what I still maintain that virtual displacement must be a small perturbation. It is simply because u is the minimizer. If you want to show u is the minimizer, you just need to show that if you perturb a very small amount around u, you would get a functional greater than the function Pi(u).

I still cannot see which part of my first variation is wrong. I assume that virtual displacement is a small perturbation and thus body force and surface traction remain constant. Also superimposition holds given the fact that I assume we have linear strain-displacement relationship here.

东南子

不错，学习一下。

xjw0413

why can't I comment here?

王喆

:):)有限元数值我的好好学习啦！

xjw0413

my understanding about weak&strong form, virtual&test function.

xjw0413

my understanding about weak&strong form, virtual&test function.

tonnyw

xjw0413 发表于 2014-11-19 23:42
my understanding about weak&strong form, virtual&test function.

这段时间没有考虑这个问题，如果我没记错的话我和ggbbggb和hillyuan理解有出入的地方在于我认为虚位移应该是小的摄动，他们两位认为虚位移只需要满足位移边界即可，大小上面没有限制。

假设弱形式为
a(u, v) = L(v)
这里 a(u,v)为双线性表达式，v是test函数。针对虚位移delta u 即u的变分, 我们有

a(u, delta u) = L(delta u)

所以试函数v 和虚位移 delta u的关系是detal u = epsilon*v，这里epsilon为任意小量。我感觉附件中的公式（33）和我的思路吻合，欢迎ggbbggb和hillyuan指正。