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[【2】力学] Norman Jones<Impact loading of ductile rectangular plates>屈服线讨论

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发表于 2012-5-3 19:03:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
附件是Norman Jones 2012年发表的大作 推导了矩形板跨中受重物非穿透性冲击的最大挠度解析解。


文中假设了图示沿对角线分布的速度场

                             
                                                             图一:速度场(文章中的Fig.2)


并认为
The transverse velocity profile  in Fig. 2 requires plastic hinges along the diagonals and at the supports(unless m=0) of a rectangular plate(见Page 70).

因为有限元模拟属性金属的大变形已经比较成熟,我建立了一个典型冲击模型和N.Jones的假设做些对比:
1 尺寸:边长40 mm、厚度2mm的四边固支方型铝板;半径2mm的圆柱做冲击体
2 冲击体质量0.4 kg,板材0.00864kg(论文末尾就大质量冲击得到一个简化解答的公式(11))
3 材料属性:冲击体为刚体;铝采用:弹性模量70GPa,泊松比0.33,屈服强度120MPa(FEA模拟还可以设置小于20MPa的强化模量)。
4 冲击体设置初速度2m/s
5 根据对称性,取1/4结构分析(当然还可以取这个结构的1/2分析)。
                                       
                                                          图二: 1/4有限元模型

FEA结果发现
1)  方板对角线上的挠度明显比对角线周边大。定性的说,速度场和位移场符合paper中假设的形状。
2)虽然对角线挠度大,但是对角线上的材料点并非首先屈服,特别是对角线上接近边界上的材料点,应力水平很低。
     典型的应力分布图与下图所示  
                                       
                                                                图三  (a)1/4结构应力分布                    (b)全板应力图


  根据这个应力云图:冲击区及其周边为高应力区,次高应力区域发上在板每个边的中部,每2个边的交界处为低应力区。如果按照这个分布,第一个图所示的对角线不太可能是塑性铰所在的路线。
  初步估计是我对论文理解有误或者模拟方式不对。现在附上N.Jones的paper和材料属性,各位高手如果有兴趣可以用各自熟悉的软件对比模拟试试.
  

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发表于 2012-5-4 07:34:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 蓝牙 于 2012-5-4 08:22 编辑

论文我没有仔细看完,我提点我个人的看法:
你的这个问题是个动态力学的问题,要用到应力波的传播理论来解释这个问题,首先在弹体和靶板接触的地方应力区间最高,一个环形的径向应力波和一个沿法向的纵波在靶板中传播。
纵波的波长是子弹的2*弹长/声速,幅值=0.5*子弹速度*声速 这个波是压缩波,如果幅值达到了屈服应力率先屈服,当到达靶板的底面发生发射,形成拉伸波,这个时候着弹点处的靶板在法向方向的应力是压缩波和拉伸波的叠加,这个时候靶板的底面的速度最大,当压缩波传递完毕,拉伸波还未结束时,靶板的底面表现为拉伸应力,这是要看材料 由于Bauschinger效应,如果拉伸屈服小于压缩屈服应力,这个时候 底部会出现拉伸屈服。这是着弹点着下方的点, 那么周围区域呢,当弹体以较高的速度撞击靶板时,会产生应力波。应力波在分界面处反射后,与入射的应力波迭加,产生的应力大于材料的屈服极限时,会使材料发生破坏。因此,其破坏形式为冲击压缩和应力波反射共同作用的结果。应力波有纵波和横波之分,它在自由平面上反射后,所产生的反射波又有反射纵波和反射横波之分,但是纵波会造成波阵面的法向拉应力,而横波只能造成波阵面的剪切和旋转变形。因此,研究平面波在自由表面斜反射所产生损伤问题,主要讨论纵波及其在自由表面斜反射纵波之间的相互作用。作为弹丸撞击层合靶板产生的应力波,是以撞击点为圆心的球面波。球面波在两种介质分界面上的反射和折射问题是非常复杂的,主要是由于球面波的对称性与分界面的形式之间的差异引起:波具有球面对称,而分界面是平面。目前的处理方法是把球面波分解成平面波利用平面波的反射和折射研究球面波的反射和折射。参考下图


那么环向波,主要是Rayleigh波,首先到达的边界的位置不是对角线对应的边界,而是你的对称面对应的边界,在这个地方发射应力波的叠加(固定约束相当于碰撞刚性墙,应力要乘以2),这里的应力应该要大于对角线上的应力,如果这个时候出现屈服,是有可能的。

综上所诉,我觉得首先出现屈服的应该是在着弹点处,接着后期 对称面边界触由于应力波的反射会出现应力波的叠加这里出现次高应力是有可能的,最后,如果你计算时间足够长,应力波在板中反复叠加,最终的结果才是准静态时候的结果!也就是你预期的结果!

以上本人拙见,不当之处,不吝赐教!

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 楼主| 发表于 2012-5-4 09:23:38 | 显示全部楼层
多谢蓝牙版主捧场。
如果是小质量冲击,的确如蓝牙版主所阐述的应力波传播的情况,屈服形态也会与一楼图一所示Norman Jones给出对角线分布的屈服线不一样。
如果是大质量冲击,初期也必然会出现蓝牙版主所阐述应力波传播情形,然后响应趋于稳定,速度场达到Norman Jones所给出的对角线分布形态.

Norman Jones在文章针对大质量冲击(冲头质量远大于板材质量)的情况做了些简化,得到文中的公式(11)
                                                      


所以我看Norman Jones给出的屈服线形态,主要针对响应接近准静态的工况。

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发表于 2012-5-4 09:57:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 蓝牙 于 2012-5-4 10:03 编辑
zsq-w 发表于 2012-5-4 09:23
多谢蓝牙版主捧场。
如果是小质量冲击,的确如蓝牙版主所阐述的应力波传播的情况,屈服形态也会与一楼图一 ...


我觉得质量不是主要因素,冲击速度是关键因素,速度很低时应力波在反射叠加过程中没有屈服,这时就应该用赫兹理论来解释,速度越低越接近准静态结果。如果速度接近于零(位移乘以刚度矩阵引起的力占绝对主导,而加速度乘以质量这部分引起的力很小可以忽略)这时就相当于在板上施加了一个重力的作用力,考虑速度的影响,这个力就是重力乘以一个大于一的权数(这个权数在结构力学中有提到,2002年我本科时候的教材有这个公式)。所以我认为斑竹这个问题不妨用设置求解时间为几分钟试试,看下最终的塑形应力分布!

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 楼主| 发表于 2012-5-4 10:11:48 | 显示全部楼层
多谢蓝牙版主。

1  关于质量是否重要问题,可参考stronge 《 Impact Mechanics》有论述;Norman Jones是现在冲击力学方面的大牛,他在文中末尾也阐述了质量比。
    这个问题,蓝牙版主看完我贴的文章之后还可继续探讨.

2
  1. 速度很低时应力波在反射叠加过程中没有屈服,这时就应该用赫兹理论来解释,速度越低越接近准静态结果。
复制代码
               Norman Jones在文中没有用赫兹理论来探讨,不过我觉得值得尝试。 初步看了下,这样得出的屈服线与Norman Jones所给出的对角线形的屈服线不一样。

3
  1. 这个力就是重力乘以一个大于一的权数
复制代码
               这种方法在一些教科书里面用于粗略估计冲击力(我曾经参阅过一本《材料力学》教材,里面也有),那种公式上个世纪已经形成,不过精度不能和Norman Jones(2012年)相比。

4
  1. 设置求解时间为几分钟试试
复制代码
                这个曾经试过。 设置时间超过冲击历时,则冲击体被反弹(因为文中声明研究对象是没有击穿的冲击)。
                 我在一楼列出了尺寸和材料常数,欢迎蓝牙版主设置下试一试 .
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发表于 2012-5-5 04:20:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 tonnyw 于 2012-5-5 04:20 编辑

A few comments:
1. What kind of elements did you use? I assume it should be plate or shell element.
2. If it is fully clamped, I think there is boundary layer close to the clamped edge. Hence, finer mesh is needed close to the boundary.
3. I guess we cannot put hardening modulus since in the paper it is assumed perfectly plastic.
4. Can you make the plate a little thinner so that the shear effect can be negligible?
5. Since the paper claims that the hinge line develop along the diagonal, use adaptive mesh along the diagonal line in order to catch the sharp gradient variation.
6. You may plot several time instants to see if the hinge line does develop along the diagonal.
7. To simplify the model, use the square instead of rectangle at this moment before we sort out everything.


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 楼主| 发表于 2012-5-5 13:22:16 | 显示全部楼层
tonnyw 发表于 2012-5-5 04:20
A few comments:
1. What kind of elements did you use? I assume it should be plate or shell element.
...

多谢tonny前来指点。
1 为了便于观察上下表面应力分布区别以及厚度方向应力分布,采用了线性减缩积分体单元;为保证厚度方向积分点数目,厚度方向划分6个单元。

2 赞同。

3 赞同。刚才重新模拟下,去掉hardening modulus。

4 这个板的边长与厚度比=40/2=20,可以认为满足文中“板”的概念,试过更薄的,情形类似。

5 赞同。
7 赞同,用的是方板。
6  tonnyw说的这条为我矫正错误指明了方向!根据推导理论解的逻辑,产生屈服线以后,挠度主要有屈服线所在材料点来贡献。即使产生屈服线之后挠度还可以进一步增大,其他区域的材料点进入屈服,也将不再理论解的关注范围之内。 而FEA的结果,随着挠度的进一步增大,其他材料点会继续屈服,才产生了一楼图三所示的应力云图。

    在以上认识的基础上,刚才重新试算下,并增大后处理显示频率,可以发现初始屈服时材料点如下图所示。

                              
不过,有限元计算结果在后续演化之后,一般不会使整个交叉状的线继续延伸和扩大到边界,而是面状扩大。如下图所示

                                       甚至演变为——————》      

                              
                                      (灰色为未进入屈服的材料点)

        从这次结果来看,对角屈服线的假设基本得到数值验证,而且这个假设很适合理论推导之用。多谢Tonny~~

PS:1  关于蓝牙版主提出的时间问题,这里也计算了板在相应挠曲振型下的固有频率和固有周期=15 μs.
           明显 小于产生屈服线的时间100μs、远小于设置计算时间2ms.说明时间设置已经合理。
        2 再来一张1/4结构的云图,可以查看厚度方向应力分布。

            

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发表于 2012-5-6 01:19:00 | 显示全部楼层
zsq-w 发表于 2012-5-5 13:22
多谢tonny前来指点。
1 为了便于观察上下表面应力分布区别以及厚度方向应力分布,采用了线性减缩积分体单 ...

I thought we are supposed to use plate element in order to have an apple-to-apple comparison since the theory in the paper is based on the plate theory.

If you are using the brick element, can you use the element type based on mixed formulation since this is a large strain problem? Maybe this can cause some difference.

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发表于 2012-5-6 02:04:24 | 显示全部楼层
I don't get this paper. sorry cant help

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发表于 2012-5-7 00:11:17 | 显示全部楼层
zsq-w 发表于 2012-5-5 13:22
多谢tonny前来指点。
1 为了便于观察上下表面应力分布区别以及厚度方向应力分布,采用了线性减缩积分体单 ...

One thing I don't understand is that once the material yields it should remain plastic. In your second figure, we can see the material yields at the four places close to the edges. Then in your third figure, the material becomes elastic and the yield is gone.

My understanding is that the approach in the paper gives you some kind of bound. The current FEA results can be treated as an exact solution.

Does the FEA results really fall into between the case where the yield stress is sigma_0 and the one where the yield stress is 0.618*sigma_0?
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 楼主| 发表于 2012-5-7 09:10:48 | 显示全部楼层
tonnyw 发表于 2012-5-7 00:11
One thing I don't understand is that once the material yields it should remain plastic. In your se ...

Yes, exactly.

1) Once the material yields it should remain plastic. I am afraid the second fig and the third fig were captured in different time since their distribution are identical.
2) The approach in the paper only gives a bound to estimate the max. deflection. Actually, elastic deflection and localised deformation are ignored(As pointed out by LanYa, the region near contact will yield first thus a localised region takes place). While in FEA results, all deformations are taken into consideration.
3) I have not tried for the case of 0.618*sigma_0 since the main objective of this simulation is to check the capability to capture diagonal yield  line.

Originally, I am very intersted with the diagonal yield line presented in the paper. I also imagine the yield line for the case of a circular metal plate subjected to low-velocity impact. Nevertherness, I can not go forward further since this topic has little to do with my project.

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发表于 2012-5-11 16:09:01 | 显示全部楼层
我也说两句,塑性铰这个东西是无数实验证明了的客观事实,但是用我们目前通用的商业软件基本是模拟不出来的,目前有些人的做法都是在发生塑性铰的地方编专门的单元,这个单元编写所用的理论还是现在通用的塑性铰理论,那么反过来用有限元模拟来反证塑性铰理论就不对了。
其实目前的J2塑性理论只能对一般情况试用,用于颈缩,塑性铰,屈曲这类问题已经被证明存在很大问题。而有限元不过是这种J2理论的一个数值解。因此在这种情况下,我们只能选择相信实验结果,在有塑性铰的地方使用塑性铰理论,没有的地方才能用有限元模拟。

我没有自己看文章,但是我记得N. Jones的公式中塑性铰产生是有一定条件的,好像是一个关于速度的无量纲数,必须足够大才行,我觉得你的情况应该是没有达到条件,你可以根据他文章给出的条件模拟看看。

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 楼主| 发表于 2012-5-11 18:24:04 | 显示全部楼层
billowriver 发表于 2012-5-11 16:09
我也说两句,塑性铰这个东西是无数实验证明了的客观事实,但是用我们目前通用的商业软件基本是模拟不出来的 ...

billowriver大牛也出山了~~     
billowriver老大记得很准确,N. Jones正是依据无量纲速度场来定屈服线的。


我对塑性铰理论理解尚浅,所以才产生了用有限元试试的想法
我的初期设想是:有限元模拟出塑性铰是不可能的,但是我以为通过有限元模拟出来的Mises应力云图,
                            有可能大致反应率先进入屈服的材料点,可以与客观的屈服线做个对比。


这里我有产生了一个疑问:速度场与屈服线如何联系在一起?就方板中心受载而言,N Jone依据一楼图一所示对角线形状的速度场得到屈服线也在对角线上。
N. Jones并未详述这么确定屈服线的原因。我一时也很难相通原因。如果工况改为悬臂梁外端点受重物低速冲击呢?

                       

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发表于 2012-5-11 23:10:44 | 显示全部楼层
billowriver 发表于 2012-5-11 16:09
我也说两句,塑性铰这个东西是无数实验证明了的客观事实,但是用我们目前通用的商业软件基本是模拟不出来的 ...

N.Jones的文章只是提供了一种类似手算的估计,我们可以得到上界和下界。我同意塑性铰无法传统的有限元方法无法模拟。但是某种程度上可以定性的模拟。

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发表于 2012-5-11 23:58:48 | 显示全部楼层
zsq-w 发表于 2012-5-11 18:24
billowriver大牛也出山了~~     
billowriver老大记得很准确,N. Jones正是依据无量纲速度场来 ...

The yield criterion in the paper is based on maximum normal stress. Is the normal stress along the diagonal line the maximum?
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 楼主| 发表于 2012-5-12 10:46:28 | 显示全部楼层
tonnyw 发表于 2012-5-11 23:58
The yield criterion in the paper is based on maximum normal stress. Is the normal stress along the ...


这是原文中的屈服条件和屈服线

                                
                       屈服条件(Yield condition)                                                   屈服线(Yield line)
                                    



这是FEA的最大主应力云图和Mises应力云图(同一时刻)

                                          
                                                    (Sigma11)




                                             
                                                       (Mises)



                                             
                                                (Tresca应力云图)




对比发现
应力云图与屈服线的主要出入在于矩形的四个角处,FEA结果四个角处的应力水平很低,难以率先进入屈服。
Tresca应力云图最接近对角线状屈服形态(If 忽略四角区域).                                    



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发表于 2012-5-13 10:20:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 billowriver 于 2012-5-13 10:32 编辑

版大给的评价太高了,不敢当。我想有没有可能是这样,N.Jones的很多文献里面给出的屈服强度都是单轴拉伸试验的结果。他在处理类似问题所采用的也都是以这个屈服强度为判断依据,所以为了和他的理论进行比较,我们在有限元里面需要考虑的应该仅仅是面内拉应力,就是in-plane principal stress,而不能用Mises应力作为判断,一切要以论文中的公示所对应的应力为准比较。不知道这篇文章用的什么应力作为判断依据,不过剪应力应该都是不怎么考虑的。而有限元直接给出的Mises应力等不能很好的反应N,Jones作为判断屈服的应力。至于板的边缘部分,受力太复杂,我感觉实在是说不清楚,弹性阶段还行,无论屈服还是损伤都很难用有限元准确计算,必需得特殊处理。

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 楼主| 发表于 2012-5-16 13:09:19 | 显示全部楼层
billowriver 发表于 2012-5-13 10:20
版大给的评价太高了,不敢当。我想有没有可能是这样,N.Jones的很多文献里面给出的屈服强度都是单轴拉伸试 ...

Bill兄和tonny兄二位的发言让我对这个问题的认识步入正轨,理当作此评价。

文中应该是不考虑横向剪应力的。in-plane principal stress以前没有没有想到,经Bill兄以提醒,刚才试了下,的确得到很类似于对角线性质的云图了。
四角边界条件复杂导致应力状态,难以定性分析。不过就位移的定性而言,可能影响不太大。

                           
                                          in-plane priciple stress

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发表于 2012-5-17 10:53:07 | 显示全部楼层
In Norman's papers, he just made the comparison of dimensionless displacement Wf/H versus the kinetic energy between the theoretical results and experimental ones. Maybe it is more appropriate if we compare the displacement from FEA with the one from Norman's paper.

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