非常有意思和有深度的变分问题 见 王勖成 书

ggbbggb

王勖成 《有限单元法》 p277 ,如何从（8.2.16）分部积分可以得到（8.2.17）.似乎在（8.2.17）最后强制边界积分中多出了一项。根据大Z，这一项在原始泛函中被忽略了（因为强制边界上点的位移变分为0），但在放松边界约束时，该项要加进来（原来强制边界上点在现在广义变分中的位移变分不为0。

但是在推导HW（Hu-Washizu)泛函的过程中p282（8.3.2）中没有多出类似（8.2.17）中的项，也就是说新泛函的变分=旧泛函的变分+放松的约束的拉氏乘子项的变分。

我的问题也可以等价为 新泛函的变分=旧泛函的变分+放松的约束的拉氏乘子项的变分中，旧泛函的变分在自然变分中和在广义变分中是不是相等的？

根据（8.2.16）到（8.2.17），说明两者不等！ 但是在（8.3.2）中两者相等！这矛盾吗？

想了一下午上面的问题，没有得出解答，但是在变分中有个共识：泛函的形式不唯一，不知道这可不可以作为上面问题的答案。但是王勖成 书在公式推导方面真的跳跃很大。

如果有人可以从（8.2.16）直接通过变分得到（8.2.17），借用旧泛函（1.3.16），也请帮忙核实。

hillyuan

动脑筋想问题是好事，但能不能不自封有意思有深度云云！

简单的说，拉氏乘子法是施加约束的标准的方法，但你也可以用别的方法（如直接去掉被约束自由度），这时你就不需要将拉氏乘子项写入泛函。至于你要采用何种形式，这是使用者来决定的。

将拉氏乘子项写入和不写入各有优缺点。写入时的最好懂得缺点是它增加了自由度。它的优点则可以在Hu-Washizu泛函的应用中看到，如你可以假定约束条件的分布，只要在积分区域内它与拉氏乘子正交（乘积为零）即可。

新泛函的变分=0 则 旧泛函的变分=0
旧泛函的变分=0 and 满足约束条件 则 新泛函的变分=0

That's all.

ggbbggb

楼上，不必那么较劲。很明显标题只是引人入胜！关于变分和虚位移的问题在这个论坛上挂那么久都没人出来澄清一下！

谢谢你的回答。我的问题是你如何（8.2.16）分部积分可以得到（8.2.17）？请也参考大Z vol1 （5版） p74.

hillyuan

ggbbggb 发表于 2012-12-14 13:35
楼上，不必那么较劲。很明显标题只是引人入胜！关于变分和虚位移的问题在这个论坛上挂那么久都没人出来澄清 ...

1. 标题应简单表明问题的内容
2 不要让人猜谜！
3  为什么（8.2.16）得不到（8.2.17）？It's straight forward!

ggbbggb

hillyuan 发表于 2012-12-14 14:37
1. 标题应简单表明问题的内容
2 不要让人猜谜！
3  为什么（8.2.16）得不到（8.2.17）？It's straight fo ...

经过再次演算，一个方向导数把2项合并了，全边界分成了两个边界之和 （分部积分之后），8.2.16可以推到8.2.17（无需特别考虑）。所以原贴问题的“有意思”变得“没意思”了。

非常谢谢hillyuan的耐心指导！

tonnyw

ggbbggb 发表于 2012-12-14 16:08
经过再次演算，一个方向导数把2项合并了，全边界分成了两个边界之和 （分部积分之后），8.2.16可以推到8. ...

Maybe the book should say something like "by divergence theorem" instead of "integration by parts"

ggbbggb

tonnyw 发表于 2012-12-14 22:14
Maybe the book should say something like "by divergence theorem" instead of "integration by parts"

确实可以只是分部积分，只用分部积分的意思是，对偏x和偏y分别用分部积分，如果从1.3.13出发用散度定理可以一步到位。我在问问题之前也是想到了散度定理，想到明显8.2.17中前2项是旧泛函的变分，而后面两项相对8.2.16项多出了一项！所以，我还原以为有冲突。

8.2.17中前2项确实是就旧泛函在自然变分中的变分，对应的场变量是温度phi，但是在广义变分中，旧泛函对应的场变量是温度和lamda，其实lamda在旧泛函中不会存在，关键是delta （phi）不再等于0，所以旧泛函在广义变分中的变分比旧泛函在自然变分中的变分多出了一项是可以理解的，因为对旧泛函的变分采用了分部积分，导致了边界上的场函数值的出现。这在8.3.2中没有体现，因为见8.3.2上面的文字，分部积分只针对lamda的那项，而未涉及到旧泛函在广义变分中的变分。所以没有任何冲突，但是我不是很满意王勖成281页那么简单推导8.3.2的过程。

juwendy

这个帖子不错，我来学习一下。