Eigen入门教程（6）几何运算

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Eigen提供了一些几何操作的函数，其实也没有太多，也就是对空间中的点的平移、旋转、缩放、仿射和投影，所以这一篇的内容会相对简单。

要使用几何模块的功能，必须

1. #include <Eigen/Geometry>

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缩放

Eigen提供了Scalling类，定义好各个维度上的缩放以后直接相乘就可以了，Scalling类的*操作符被重载过，具体的计算过程不用我们操心

1. Scaling2f ss(sx, sy);
   
2. Scaling3f ss(sx, sy, sz);   
   
3. Scaling3f ss(s);   //scalling of x, y, z are all s
   
4. Scaling<float, N> ss(vecN);  //多维线性空间
   
5. res=ss*point;

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二维旋转

Eigen提供了Rotation2D类可以生成二维旋转所需的变换矩阵

1. Rotation2Df rot2(angle);  //Rotation2D<float> rot2(angle);
   

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angle就是旋转角，单位是弧度，Rotation2Df中的f代表float，你也可以使用i代表int，d代表double，但是不能使用cf、ci、cd之类的复数。Rotation2D类其实就是2*2的矩阵，使用时

1. Vector2d point(x,y);
   
2. Vector2d res=rot2*point;

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就得到旋转后的点坐标。

Eigen没有提供绕非原点旋转的直接计算方法，如果你需要绕非原点旋转，那就定义一个从旋转中心到目标点的矢量，再旋转该矢量，然后再加回旋转中心

1. Vector2d tmp=point-cen;
   
2. res=rot2*tmp+cen;

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三维旋转

和二维旋转类似，也是生成一个坐标变换的矩阵，然后乘以变换点，就得到目标点。

如果给定旋转轴Vector3f(ax,ay,az)和旋转角angle_in_radian，那就这样生成变换矩阵

1. AngleAxis<float> aa(angle_in_radian, Vector3f(ax,ay,az));

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但是对于 Vector3f(ax,ay,az)有要求，必须是单位矢量，也就是说ax^2+ay^2+ax^2=1，否则生成的变换矩阵不仅有旋转功效，还能附赠缩放功能。

然后

1. res=aa*point;

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就得到旋转后的结果

在OpenGL中表示点和矢量都是使用4元的数组，其中前3个代表坐标值，最后一个其实是bool值，区别点和矢量，如果要对这种4元数组进行几何变化，必定要乘以一个4*4的方阵最为合适。Eigen也提供了必备的功能

1. Quaternion<float> q;
   
2. q = AngleAxis<float>(angle_in_radian, axis);

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Quaternion生成的就是4*4的方阵

最常见的旋转都是绕坐标轴旋转的，Eigen的Matrix类提供了3个构造函数用以生成坐标轴矢量

1. Vector3d vec_x=Vector3d::UnitX();  //(1, 0, 0)
   
2. Vector3d vec_y=Vector3d::UnitY();  //(0, 1, 0)
   
3. Vector3d vec_z=Vector3d::UnitY();  //(0, 0, 1)
   

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是不是觉得多此一举，直接给定坐标值不就结了，这个函数的主要目的是为了代码的易读，所以大家还是稍微多敲一点代码，这样以后读起来不糊涂。

对于其他的旋转轴，别忘了单位化，入门教程（3）里面提供了单位化的函数normalized()，别忘了最后的字母d

如果你的旋转轴不过原点，和二维旋转类似，你可以使用一个减法，然后再旋转，再来一个加法就搞定了。

要注意的是，不管是Rotation2D还是AngleAxis或是Quaternion本质上都是Matrix类，如果你用其他方法得到了这个矩阵，那你也可以直接用这个矩阵来给你的转换矩阵赋值，或者干脆直接用这个已经得到的矩阵来完成你的操作，它们其实是完全等价的，可以用=操作符互相赋值。如果你直接用了那个值，可以跳过对旋转矩阵进行赋值的操作，稍微节省一点计算，但是将来阅读代码时会有困难；如果你改成了旋转矩阵类，将来阅读时会容易；具体要如何把握取决于程序员。

连续几何变换和API的一致性

Eigen为了保持几何变换各功能的一致性特意重载了*操作符，这样所有的变换都可以使用*来完成全部的变换，比如说连续进行两次变换

1. gen=gen1*gen2;
   
2. res=gen*point
   

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虽然缩放的乘法是cwise的，而旋转的乘法是矩阵乘法，但是你完全不必担心gen1和gen2到底是旋转还是缩放，直接连乘就可以得到两次变换所需的变换矩阵，这样就方便了程序员。

这种特性对于运动学中的欧拉角变换是非常有用的，欧拉变换是一个非常复杂的过程，需要经过进动、章动和自转3次旋转，那么可以通过这种连乘直接得到变换矩阵

1. Matrix3f m;
   
2. m = AngleAxisf(angle1, Vector3f::UnitZ())
   
3. * AngleAxisf(angle2, Vector3f::UnitY())
   
4. * AngleAxisf(angle3, Vector3f::UnitZ());

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由于旋转轴的不同，实际上存在24种组合，组合的规则就是2-1-2

如果是反向变换，可以用一个inverse()成员函数完成

1. res=gen.inverse()*point;

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这个成员函数适用于旋转和缩放，它会根据gen的类型自动调整，如果是缩放，它会对不同的值去倒数，如果是旋转，则针对角度取反。

平移和旋转和缩放不同，平移使用的是加法而不是乘法，所以不太适用API一致性，如果必要那就可以考虑一下仿射中的平移。

对于仿射之类更复杂的几何操作，Eigen提供了Transform类

Transform类的定义

Transform< _Scalar, _Dim, _Mode, _Options > T;

其中
_Scalar代表数据的类型，比如float或者double；
_Dim代表空间的尺寸（或者维度）；
_Mode代表几何变换的类型，它包含几个枚举值：

• Isometric，等距变换
• Affine，生成一个仿射矩阵，矩阵是(_Dim+1)*(_Dim+1)的方阵，多出来的一行和一列除了在(_Dim+1, _Dim+1)的位置是1以外，其他的地方都是0。适用于OpenGL数据格式
• AffineCompact，生成一个仿射矩阵，不过矩阵是(_Dim)*(_Dim+1)的矩阵，其实目标和Affine一样，只是为了适应不同的数据格式
• Projective，生成一个投影矩阵，矩阵是(_Dim+1)*(_Dim+1)的方阵，多出来的一列可能是任意值。
  

_Options和Matrix类的最后一个参数类似，可以用来指定是否内存对齐、按列存储还是按行存储之类的，通常可以不给

和Matrix类类似，Eigen也提供了一些typedef，比如Affine3d之类，其编号代表其尺寸，后面的字母代表类型，而命名就代表几何变换的类型，至于按行存储还是按列存储通常不需要更改，这些规则和Matrix类的typedef是一致的。

要注意的是仿射也好投影也罢，其实都是生成一个矩阵，然后去乘原始点，得到的结果点就是变换后的坐标，所以它们和Matrix类本质上也是一样的，也是可以互相赋值的。

仿射缩放

Eigen提供了Scalling类，但是其实Scalling类的存在并不是真的为了生成什么缩放的东西，而是为了更方便的生成几何变换矩阵。

1. Affine2f ss=Scaling(sx, sy);
   
2. Affine3f ss=Scaling(sx, sy, sz);       // ss is a 4*4 matrix compatible for standard opengl data structure
   
3. Affine3f ss=Scaling(s);   //scalling of x, y, z are all s
   
4. Transform<double, N, Affine> ss=Scaling(vecN);  //多维线性空间
   
5. res=ss*point;
   

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仿射平移

Eigen提供了Translation类，和Scalling类类似，Translation类也不是为了生成平移的什么东西，而是为了更方便的生成仿射矩阵

1. Affine 2f ss=Translation<float,2>(tx, ty);
   
2. Affine 3f ss=Translation<float,3>(tx, ty, tz);
   
3. Affine 3f ss=Translation<float,N>(s);
   
4. Transform<double, N, Affine> ss=Translation<float,N>(vecN);
   
5. res=ss*point;
   

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平移采用乘法是不是很奇怪，不过Eigen就是这么定义的，谁让仿射是乘法运算呢。

仿射投影

投影是仿射的一种算法，当你给定仿射运算的矩阵之后，被重载的*操作符就会执行投影算法，和其他的算法的用法没有什么区别

1. Transform<double, 2, Projective> t;
   
2. Vector2d p;
   
3. Vector2d q = t * p;

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其实楼主不是很懂这个东西，只不过手册上原文是这样子的，关于仿射投影的部分就这么点内容。

Transform类的变换

Transform类可以改变其运算内容，如果变成平移的，那么使用translate()函数输入Translation类或者Translation类所需的构造参数，如果要变成缩放的，就使用scale()输入Scalling类或者Scalling类所需的构造参数，旋转的话就使用rotate()输入AngleAxis类或者AngleAxis类所需的构造参数，操作符*会被重载并进行对应的运算

1. Transform<double> t;
   
2. t.translate(VecN);
   
3. t.rotate(angle_axis);
   
4. t.scale(s);
   
5. res=t*point;

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几何的部分内容不太多，比较简单，仿射部分楼主不是很懂，所以介绍的不到位，如果有高人，请在下面跟帖。不过缩放和旋转的部分楼主用的倒是挺happy的

Eigen常规模块的主要内容基本就这些了，接下来楼主还会介绍一些别的内容。下一篇的计划是fft，因为fft是通过外部库来实现的，所以楼主还会介绍一下外部库的调用，不过外部库的调用内容远比fft多，所以会以fft为引子来介绍更主要的内容