【原创】梁断裂问题的理论分析与有限元计算

xywang52

以下算例源自课程《高等结构动力学》的CaseStudy，新年来临之际将成果与大家共享，给遇到类似问题的亲们以参考，也兑现对版主tonnyw和zsq-w的许诺。


以上是需研究的问题，采用两种方法解决，那当然是理论分析和有限元仿真计算喽~
研究思路是：

       摘要：本文从理论分析和有限元仿真两方面对复杂边界条件（左端固定，中间简支，右端自由）梁的振动特性做了研究。用等效组合梁方法，给出了断裂前和断裂后梁的振型函数；给出了断裂前梁在简谐力作用下的稳态强迫振动和断裂后梁的自由振动的解析式，并且用Matlab编程获得了梁上离散点的振动响应曲线；在有限元软件Abaqus中通过删除单元法模拟了梁断裂的过程，获得了其响应曲线。对比理论分析和有限元结果，稳态强迫振动阶段幅值误差最大不超过10%，验证了本文的算法在解决复杂边界条件梁振动特性时的可行性。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
与提交给老师的报告不同，这里我将重点呈现有限元的计算方法，涵括的要点有：
1、简谐激励载荷的施加
2、梁断裂前强迫振动和断裂后自由振动的分析步创建
3、删除单元法模拟梁断裂的过程

简谐激励载荷的施加：
在aba中施加间谐激励载荷还是挺方便的，但看到论坛里还是有不少人有疑问，现图解一下。
      
CF1、CF2处输入力的施加方向和幅值，创建一个周期性的Amp，其中circular frq为圆频率（2*pi*f），initial amplitude为初始位置，之前在这里狠狠的二了下，我输入了10，结果出来的结果也是正弦的，但是基准就不是y=0了。
关于A和B的认识貌似有不同的观点，没有详细考察，个人认为是：
exp(iwt)=Acoswt+iBsinwt
A=0，B=1，代表正弦载荷
A=1，B=0，代表余弦载荷
如果有相位角，同样可以用AB表征出来。

断裂前和断裂后分析步创建
采用动态模态法（Modal Dynamic）计算结构的响应。
对断裂前的强迫振动，创建分析步Step-resp-underForce，时间为20s；
对断裂后的自由振动，创建分析步Step-resp-afterBroken，时间为10s；二者计算步长均为0.02s。
说下计算步长，一开始我给定初始步长0.02s，但是类型是automatic，即是可以自动调整的，结果以很少的分析步就算完了。
如果你想响应曲线上有更密集的点，可以将步长类型设置为fixed，但是要注意最大步数要大于计算需要的步数。


删除单元法模拟梁断裂
本文研究的梁并非由于强度不足导致失效，因而不方便用材料失效准则模拟其局部断裂。采用添加关键字的方法，在20s时刻“强制性”删除0.7—1.0部分的单元。

上图即为关键字的编写方法，比较简单且容易理解，其中set-delete为事先定义好的需要删除的单元。
需要注意的是：该段关键字的出现位置是哪个分析步需要删除单元就放在哪个分析步里面。
对于本文算例，关键字放在分析步Step-resp-afterBroken中。这样通过删除单元的办法模拟了梁断裂的过程。


计算结果：
输出x=0.3，x=0.5，x=0.7和x=1.0四个点的位移响应曲线。
  


为了更方便的分析梁断裂瞬间的特性，给出了给出了x=0.7处的加速度响应曲线。


可以看出：

（1）    有限元计算结果与理论分析的规律一致，前20s梁受简谐力作用做强迫振动，后10s梁局部断裂，外界激励消失，剩余结构做自由振动。

（2）    强迫振动阶段，有限元计算结果存在非稳态过程，该过程持续约2s，而理论分析时只是考虑了其稳态响应。

（3）    自由振动阶段，由于阻尼的作用和能量“沙漏”，有限元计算结果存在明显的衰减现象。

（4）    20s断裂时加速度突变，其原因是“强制性”让梁突然断裂，结构质量和刚度矩阵变化很大，产生奇异。

xywang52

具体的理论分析过程及matlab程序见一楼附件，这里仅给出理论分析的结果以及理论分析与有限元计算结果的比较。
理论分析结果：
取x=0.3，x=0.5，x=0.7 和x=1.0处的四个点，研究了断裂前梁简谐力作用下的稳态响应和梁断裂后的自由振动，其中x=0.5处点用于直观校验模型


可以看出：

（1）    梁的振动响应包括断裂前的强迫振动和断裂后的自由振动两个过程，由于没有考虑阻尼的影响，因而响应没有衰减。

（2）    一阶振型截断和二阶振型截断，梁的振动响应差别很小，其原因是对本文研究的梁结构，一阶频率和二阶频率差别较大，一阶振型占据振动的绝大部分能量。

（3）    比较x=0.3，x=0.7 和x=1.0三个点的响应值，可以看出梁越靠近自由端的点响应越大，符合梁的振动规律。

（4）    x=0.5处的响应值始终为0，与模型简支点处无响应相符合。

结果比较及误差分析

可以看出：

（1）强迫振动阶段，理论分析与数值计算得到的响应幅值最大误差不超过10%，满足工程精度要求。

（2）梁断裂后的自由振动过程，强烈依赖于断裂瞬间的状态，理论分析时没有考虑梁的非稳态振动，因而两种方法得到的断裂瞬间梁的状态不同，故自由振动的幅值差别较大。

（3）本文提出的算法在解决复杂边界条件下梁的振动特性时具有可行性。

下面分析影响理论分析与有限元计算结果的误差因素：

（1）理论分析时选择的截断振型阶数对结果有一定影响。

（2）理论分析时包含复杂的积分过程，积分函数和积分步长的选取对计算结果有重要影响。

（2）有限元计算时，网格的尺寸和时间步长的大小影响计算结果。

291517964

分析的很好，比较有理论深度！

zsq-w

赞lz. 特别问题讨论中的误差分析和abaqus操作中对model change的妙用.

我第一次看见lz贴上这个题目的时候，我当时心头有些疑问：1）断裂0.7的位置，这个对第几阶模态。刚才看了下lz的分析，应该是第二阶。结构基频是47 Hz，二阶频率是292.5 Hz.
2）如果假设梁的材料为脆性材料，是不是可以预估材料的抗拉强度？这样的话可能利于捕捉在断裂瞬间梁的力学形态变化。 不过这么做，貌似不是出题者的本意

xywang52

291517964 发表于 2013-12-31 19:48
分析的很好，比较有理论深度！

谢谢，新年再接再厉

xywang52

zsq-w 发表于 2013-12-31 20:31
赞lz. 特别问题讨论中的误差分析和abaqus操作中对model change的妙用.

我第一次看见lz贴上这个题目的时候 ...

先感谢版主肯定，顺带祝新年快乐(*^__^*) ……
先回答下第二个问题：之前没有接触过断裂问题，不太清楚怎样用失效准则来迫使梁断裂。用model change有点偶然的意思，很久以前师兄说咱们来看看这个关键词吧，然后就没有然后了~这次突然想起，尝试了下，一次成功O(∩_∩)O！仿真的顺利进行也促使自己硬着头皮完成理论分析的。
关于第一个问题，不是很明白版主说的断裂地方对应第几阶振型，我是把断裂前和断裂后当做两个系统的，二者的关联是断裂瞬间梁的状态是自由振动的初始状态。理论分析时现于编程的复杂性，分别取了二者的前两阶振型，固有频率是不一样的。有点乱了，表述不清楚了

zsq-w

呵呵，固有频率当然是不一样的.

limin.zhang

先下后看了，感觉不错

xywang52

limin.zhang 发表于 2014-1-14 10:34
先下后看了，感觉不错

谢谢，欢迎交流，O(∩_∩)O哈！

lx8303

厉害！学习了

华子嗯哼

多谢作者分享

sqh031566

看一看，学习一下

何源福炫富

学习学习学习，感谢分享