开个帖子-一起学习有限元

nwpusoceity · 发表于 2014-2-24 20:25:51

本帖最后由 nwpusoceity 于 2014-5-28 11:24 编辑

开个帖子，每天更新自己学习有限元的一些心得，希望大家多多指正。
美西北计算力学大神 Belytschko的有限元入门书籍（有需要电子版的可以留下邮箱）

nwpusoceity · 发表于 2014-5-28 11:48:23

继续更新单元刚度矩阵与节点刚度矩阵的理解

nwpusoceity · 发表于 2014-2-24 20:26:50

关于理论的理解，有限元方法是处理偏微分方程的一种数值方法。目前来说处理偏微分方程有两种方法：
有限差分法和以加权余量法为基础的有限元方法。这两种方法的主要区别在于，有限差分法通过把偏微分方程化成差分的形式，借助划分的网格来求解（差分就是微分的近似），思路上比较好理解。而另一种方法加权余量法的思想主要是将微分形式化为积分形式，借助数值积分来求解。书中提到的是将需要求解的微分方程划为等效积分的形式，不知道自己理解的是否正确，希望大神指正。

nwpusoceity · 发表于 2014-2-24 20:56:56

关于微分方程的等效积分形式以及加权余量法：
等效积分的变换形式，基础是积分式恒为零则被积函数恒为零，同理被积函数诚意一个任意的函数此积分仍然是恒为零，同理如果可以找到一个函数使得这个积分式子不为零，那么这个函数必然不是理论的被积函数。以下是书中的公式截图

微分方程组形式

变换的形式

nwpusoceity · 发表于 2014-2-24 21:09:30

下面来给大家介绍有限域中经常遇到的概念强形式弱形式以及直接的转换关系

nwpusoceity · 发表于 2014-2-25 09:48:04

本帖最后由 nwpusoceity 于 2014-5-28 11:01 编辑

（1）上面引入的V在数值积分中我们叫做权函数。。。数值积分的时候我们引入的权函数的概念，（例如我们Gauss求积公式），关于权函数的作用自己也不是特别清楚，希望大神可以科普下。但是在求解弱形式权函数的作用是明显的；
（2）弱形式的求解就是通过降低被积函数的次数，提高权函数的次数得到新的易于积分的形式，此外由于降低了被积分函数的次数，对于平滑性的要求降低了，所以求解的要求相对变弱，故称之为弱形式。用的方法可以采用分步积分的方法，也可以采用变分的方法，有限元的书籍中都有讲解。
（3）对此处理解后，对后面有限元中经常提到的高斯积分才能更好的理解
这里要说明的是，在强形式与弱形式互相转化的过程中引入的虚功原理。通过分部积分来降低求解函数的精度要求。将函数化为最终的可以离散为有限元的形式

nwpusoceity · 发表于 2014-2-25 11:08:58

下面为大家介绍加权余量法的一些理解。（这些方法都是后边有限元方法的基础)

nwpusoceity · 发表于 2014-2-25 11:18:28

本帖最后由 nwpusoceity 于 2014-2-25 11:21 编辑

（1）余量，在插值、拟合问题中，我们用余量来评价插值的好坏；
（2）加权余量法的思想类似于函数插值，对于未知的场函数我们采用一组基函数来近似（由于公式不好打故只能用语言描述），此时必然产生残差。如书中所描述，

选取适当的权函数使得，残差的等效积分形式为零。求得基函数中的待定系数。及加权余量法。
关于权函数的选择进而引入了
配点法
最小二乘法
子域法
迦辽金法

nwpusoceity · 发表于 2014-2-25 11:26:27

下面为大家介绍引入的变分原理和里兹方法

s0604015 · 发表于 2014-2-25 12:36:08

真本书看起来比较吃力啊

nwpusoceity · 发表于 2014-2-25 13:20:27

s0604015 发表于 2014-2-25 12:36
真本书看起来比较吃力啊

还好，一起学习呀

nwpusoceity · 发表于 2014-5-28 11:37:53

最近把有限元基本看完了。继续更新

nwpusoceity · 发表于 2014-5-28 11:42:56

首先引入一维有限元的分析，加深大家的理解。
有限元的问题的本质，在与找到一个函数满足一个微分方程或者微分方程组。直接找这样的函数是很困难的，就像找到一个函数的解析解一样，对此我们采用基函数的思想，及用一组基函数的线性组合来代替我们需要找到的函数。这个时候我们只需要找到一组基函数的线性组合的系数，使得误差最小即可。
在确定基函数的过程中，我们会发现，在全域上找到这样的基函数是困难的，这是候引入了有限元的思想。即把全域化分出许多的子域，在每个子域上找到一个基函数。二我们全域上的基函数只不过是这些基函数的的分段形式。

nwpusoceity · 发表于 2014-5-28 11:44:22

试看下面两个图

中山路虎 · 发表于 2014-5-28 11:44:52

以前学过这门课，始终就是没太懂的样子

nwpusoceity · 发表于 2014-5-28 11:45:10

nwpusoceity · 发表于 2014-5-28 11:47:29

图一中我们找到的是一个单元上的基函数，图二中表示的是在全域上的整体的基函数，二c是线性组合的系数。
这里面或许我们需要提到变分原理，主要是把强形式通过虚功原理转化为弱形式。在此中，我们可以得到如何求解单元刚度矩阵以及整体刚度矩阵。这些在UEL的实现中是很重要的

nwpusoceity · 发表于 2014-5-28 11:51:20

补充一下。中文书看果然很吃力。给大家推荐两本有限元学习的英文书籍
第一本是，Ted belytschko a first course in finite element
第二本是 Flaherty写的有限元教程

nwpusoceity · 发表于 2014-5-28 14:10:51

引入几个问题来说明abaqus 基础理论来分析有限元软件应用过程中的收敛性的问题；
（1）关于数值计算中的积分问题。要理解微分方程为什么会在计算中成为积分的形式，积分为什么选择用高斯积分，积分点如何选取？
（2）积分本质是对于单元刚度矩阵中的单元差值函数为主体的积分，而在单元中我们见过线性单元，二次单元，甚至高次单元，他们是如何影响收敛性的？
（3）对于划分单元的疏密对于收敛性是如何影响的？
（4）有限元方法作为一种数值方法最终还是将问题转化为线性方程组的问题，在次线性方程组中怎么引入的迭代矩阵，比如umat中经常分析的雅克比矩阵，以及牛顿迭代方法等，我们已经熟悉了abaqus计算过程中的迭代过程，那么迭代方法的选择对于收敛性又是如何影响的？

oppowin · 发表于 2014-5-28 14:17:55

NWPU 啊！支持下

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