本帖最后由 chunyu 于 2014-9-14 11:02 编辑
目前我国计算力学所用的工具基本上被国外的主流商业有限元软件(如ABAQUS,ANSYS,NASTRAN等)所垄断。这些软件都是闭源的“黑盒子”,再加上非线性有限元软件本身的复杂性,软件使用者、包括一些专门从事力学工作的研究者通常对这些工具所采用的算法以及实现方法并不是很关注。久而久之,这些工具逐渐成了标准,成了检验其他代码的“裁判”,甚至成了教科书的内容。这些软件真的就“对”吗?
下面从基础出发来分析一下主流商业软件在处理可压缩材料时的错误,详细的理论推导可参考Z. P. Bazant, M.Gattu和J. Vorel发表在Proc. R. Soc. A上的文章。为便于理解,叙述上可能会采用数学上不太严谨的定义,比如矩阵和二阶张量不做过多区分,函数和映射不做过多区分等,但不会产生误导。
(1)应力与应变的多种形式
应力是描述物体受力剧烈程度的一个物理量,应变是描述物体变形剧烈程度的一个物理量。理论上,只要能合理地描述受力的剧烈程度和变形的剧烈程度,可以采用不同的方式来定义应力和应变。以单轴拉伸为例,假设截面面积为A0、初始长度为L0的均匀杆件承受大小为P的拉力,变形后的截面面积为A、长度为L。最直观地,应力就有两种定义方式,一是用力除以初始的截面面积,即P/A0;另外一种是力除以变形后的截面面积,即P/A。这两种定义都可以合理地反应杆件中每一点材料受力的剧烈程度,因此都是被接受的,前者称为工程应力,后者成为真实应力。类似地,应变也有两种定义方式,第一种为变形量除以原始长度,即(L-L0)/L0,该种形式的应变称为工程应变。另外一种和定义真实应力的思路一样,即用变形量除以变形后的长度。由于变形过程中长度不断发生变化,因此需要将变形过程分成很多增量步才能计算这种应变。假设每一步的变形增量为一微小量dL,则对应的应变增量为dL/L。利用积分运算对应变增量进行累加,则从L0变形到L产生的应变为int(dl/L),其中int代表积分(integration)运算,积分上下限分别为L0和L。结果为ln(L/L0),其中ln(x)为自然对数函数。这种形式的应变称为对数应变,也称为真实应变。观察工程应变和真实应变,可以发现二者存在确定的关系,即:Ln(L/L0)=Ln(1+(L-L0)/L0)。
以上只是从直观出发就可以定义两种应力和应变。对更一般的三维结构,还有更多形式、数学上更完备的应力和应变定义,比如基于变形梯度的应变定义。记变形前结构的坐标(矢量)为大X,变形后的坐标(矢量)为小x,x为X的函数。利用x的梯度(即p(x)/p(X),p()表示偏微分算符)即可以全面地描述结构的变形程度和变形特征,该梯度(矩阵)称为变形梯度,通常记为F。为和直觉吻合(即不变形时应变为0,刚体转动时应变也应该为0),人们又利用F定义了一般变形条件下的几种应变,
T表示转置,I为单位二阶张量。m=2,上述应变为Green-Lagrangian应变;m=1,为Biot应变;m=-2,为Alamansi Lagrangian应变;m=0,则趋近于上述对数应变(也叫Hencky应变)。不管哪种应变,都能合理地反映物体变形的剧烈程度,变形程度大,则应变大,变形程度小,则应变小,不变形,则应变为0。
类似地,应力也存在多种定义方式。最直观的仍然是真实应力,即以变形后的面积来衡量力的剧烈程度。这种应力也叫Cauchy应力。另外还有第一Piola-Kirchhoff应力,第二Piola-Kirchhoff以及Kirchhoff应力等。具体的数学形式可参看:http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_measures。
简言之,可以采用多种形式的应力和应变来描述物体的受力和变形。对某一确定的受力和变形状态,这些不同形式的应力和应变的值通常是不同的,见下图所示的同一种材料的单轴拉伸应力-应变关系:
天哪,这是同一种材料的应力应变关系吗?是的!
哪一个对啊?都对!定义形式不同而已。但要注意,在不同形式的应力和应变定义下,材料的切线刚度也不一样了!
选哪种啊?
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