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本帖最后由 whutgb 于 2014-9-28 15:54 编辑
最小势能原理基于对称正定算子理论
定义T（）为线性对称正定算子，
即满足：
T（X+Y）=T(X)+T(Y)
（T(x),Y）=(X,T(Y)
(T(X),X)>=0,当且仅当X为常函数0时取等号。
其中T是一个算子，作用在一个函数上，得到另一个函数，比如求导算子，作用在一个函数上，得到导函数；
不定积分算子，作用个一个函数上，得到原函数；拉普拉斯算子，作用在一个函数上，得到一个函数。
X，Y为函数或者多个函数构成的向量，F为外力函数或者外力函数构成的向量。
（）括号表示函数的内积，即两个函数相乘然后在求解域的定积分，这个内积具有和向量内积相似的特性，即
对称性：（X,Y）=（Y,X）
线性性：（X+Y，Z）=（X，Z）+（Y，Z）
正定性：（X,X）>=0，当且仅当X为零向量或者常指函数0时取等号。
而内积的结果（X,Y）在两个向量分量相乘后相加或者两个函数相乘后在偏微分的求解域求定积分，最后显然是一个值。
如果X是一个由多个函数构成的向量，则需要把X和Y的分量相乘后再在区域内求定积分，这种情形出现在三维静磁场，二维和三维力学，见下面的解析。
内积的结果是一个数字，一个数值，不是一个函数。
如果算子T在特定的边界条件下为对称正定算子
则可以构造一个泛函 J（X）=1/2(T(X),X)-(X,F) ，
泛函J（X）在强制边界条件下取唯一极小值问题和偏微分方程T（X）=F求解问题等价。
这个定理叫做弗里德里希兹定理。在变分法的书籍中都有介绍。推荐吴迪光写的《变分法》，其中在末尾几章有详细的叙述。
定理也很容易证明。容易理解。只要有微积分的基础，都能够看懂
我在后面用弹簧的例子也会做一个说明。尽管一个是方程问题，一个是微分方程问题，但是处理思路完全一致。
所谓泛函，就是函数的函数，即当自变量为一个函数时，因变量是一个数值。这样的例子有很多，比如定积分就是一个泛函，
给定一个函数，在确定的积分区域积分就是一个数值，所以定积分是一个泛函。
再比如变分法中经常提到的最速降线问题，即给定一条通过不在同一竖直线上而且有高度差的两点A，B的曲线，A点在上，B点在下，那么
当取不同的曲线通过A，B，即取不同的函数时，小球从点A下降到点B的时间不同，所以小球的下降时间t是下降曲线y(x)的泛函t[y(x)]。一般用【】
区分泛函和普通函数。在钱伟长的《变分法与有限元》一书的前面列举了很多的有趣的泛函例子，只要学习过微积分，就可以读懂。而对于这些问题的求解思路，我在下面会介绍。
可以看出X经过T作用后的结果T（X）是一个函数，1/2(T(X),X)是两个函数的内积，就是一个数值，后面的（X,F）也是一个数值，所以J=1/2(T(X),X)-(X,F)也是一个数值，
F对应外部的作用力，是给定的函数，所以当X取不同的函数时，经过运算1/2(T(X),X)-(X ,F)得到一个不同的数值，所以J（X）构成对于X的一个泛函。
这些泛函的表达式大多是一些定积分，具体在变分法的书籍中有详细的形式。
X的典型情况如下：
热学：温度场函数T(x,y,z)
静电学：电压函数V（x,y,z）
二位静磁学：磁势函数Az(x,y,z),
三维静磁学：磁势向量（Ax(x,y,z),Ay(x,y,z),Az(x,y,z)），其中Ax。Ay,Az是磁势的三个分量。这是一个由三个函数对应的向量。
三维力学：三维位移向量（u（x,y,z）,v(x,y,z),w(x,y,z)）这是一个由三个函数对应的向量。
F的典型情形如下：
热学：内部产生热量的速率q（x,y,z）
静电学：电荷密度q(x,y,z)
二维静磁学：电流密度z分量Jz(x,y,z)
三维静磁学：电流密度向量（Jx(x,y,z),Jy(x,y,z),Jz(x,y,z))，下标代表三个分量
力学：体积力，比如重力。(fx(x,y,z),fy(x,y,z),fz(x,y,z))，下标代表三个分量。
T(X)=F的典型情形如下：
对于杆变形的问题，是一个二阶的常微分方程；
对于梁变形的问题，是一个四阶的常微分方程；
对于热学，二维静磁学，静电场，
对应的是一个二阶偏微分方程（泊松方程）；
对于三维静磁学，对应于三个偏微分方程组成的方程组，此时T（）是一个3*3的算子组成的矩阵，乘以向量X（3*1）后，得到向量F（3*1）；
对于力学，就是三个平衡方程组成的方程组。此时T（）是一个3*3的算子组成的矩阵，乘以向量X（3*1）后，得到向量F（3*1）
这里重点强调下对应于X，F为向量的情形，它是描述偏微分方程组的，也可以用最小势能原理求解。
一般的书对于偏微分方程组都是用虚功原理讲解的，对于只有一个偏微分方程的情形（很多变分法的书籍都是用拉普拉斯方程举例子）
才采用弗里德里希兹定理构造泛函，其实这样对于理解问题很不好，比如说，力学的平衡方程就是一个偏微分方程组，而很多的书籍不介绍
怎么用弗里德利兹定理构造泛函，而是直接从物理的意义构造泛函，这样问题就多了一层神秘的外衣，
其实这个泛函完全可以从数学的角度得到，剥去了所有的物理的外衣。这是借用了物理学的基本概念。
对于X，F为向量的形式，在内积的时候需要把X，T（X）的分量先相乘相加，然后在给定求解域积分；对于X，F是一个函数的情形，直接相乘然后在给定区域积分。对于有n个变量的偏微分方程组，包含n个方程，此时T（）是一个n*n的算子组成的矩阵，乘以向量X（n*1）后，得到向量F（n*1）
所谓最小势能，就是指J(X)前面一部分1/2(T(X),X)是当系统达到状态X时（也就是温度场，电场，磁场，位移场取某个分布场X时）
系统的内部能量（物体的热内能,电场能量，磁场能量，弹性体势能，....），
在弹性力学中指的是系统的弹性势能。所以一般称为最小势能原理。这个结论在变分法的书籍中有很好的证明，我在后面也会举弹簧的例子说明。
后面一部分(X,F)指系统从初始状态到达状态X时，外力做功的两倍（热源产生热量的两倍，电流输入给系统的能量的两倍，外力给弹性体的外力功的两倍...）。
我特别强调这个两倍，因为很多人认为依据能量守恒原理，系统内部能量和外力的功是一样大的，所以1/2(T(X),X)=(X,F)。那么J（X）应该恒为
零啊，还要“最小”这两个字干什么。还要用最小势能原理求解问题干什么？？？！！！
事实上，这样理解的主要错误是（X，F）是外力功的两倍，所以等式1/2(T(X),X)=(X,F)求解出来的X不是最终的稳定状态，也不是偏微分方程的解。
J（X）其实是一个不伦不类的表达式，它的两部分都有物理意义，但是整体表达式没有物理意义，只是一种数学构造，从下面弹簧的例子就可以看出来。
弹簧例子的深刻阐释：
一个很好的理解是假定X为一根弹簧的变形量，最初变形对应X=0，最终变形X=X0
对应的力为F，仔细考虑下，在弹簧从未变形（即X=0）到最终变形（即X=X0）的过程中，力
从0逐渐增大到F，所以外力做的功为1/2*F*X0, 弹簧在最终状态的弹性势能显然为1/2*X0*K*X0
弹簧的刚度方程K*X=F具有和对称正定算子方程T（X）=F 相似的性质，只是一个是普通的代数方程，一个是微分方程。
我们把K也看成一个算子，它把一个常数X变换为另一个常数，定义数值域的内积为乘积，下面对于K的性质和T（）的性质做一个对比。
K T（）
线性性： K*（X+Y）=K*X+K*Y T(X+Y)=T(X)+T(Y)
对称性： （K*X）*Y=X*（K*Y） （T(X)，Y）=（X,T（Y））
正定性： X*K*X>=0 （T（X），X）>=0
可以明显的看出弹簧的例子和对称正定算子方程的相似性。
弹簧变形问题是：已知弹簧刚度为K>0,一端固定，一端作用力为F，求弹簧作用力端的最终变形X0。思路有三种：
思路一： 求解X0，满足K*X0=F
思路二：求解X0，满足1/2*X0*K*X0=1/2*F*X0
思路三：求解X0，满足1/2*X0*K*X0---F*X0对于求解域R中的所有X取得最小值。
这三个问题显然相互等价。
首先说明下这三种思路的不同点，思路一和思路二单刀直入，直接就可以求解出X0,而且X不能取其他值，否则两个方程都不能满足，我们的思路是直接找到那个解X0
就像我们求解常微分方程一样，先找出通解，代入边界条件，直接得到了最终解。
在思路一和思路二中，我们的思路被固定死了，被限制死了，一头扎进那个特解，别的东西不去管了。
但是思路3和前面两种思路有很大的不同，它没有限制X取什么值，X取任意值对应的J（X）都有一个值，只不过只有当X取得X0时这个值最小。这是很大的突破。
在大脑中想象一个弹性体任意变形（边界条件仍然满足，受力依然满足），但是弹性体的变形不受限制，这个弹性体的形状在空间不断变化（依然满足边界条件），
对应的弹性势能1/2(T(X),X)不断变化，外力做功的两倍(X,F)也在不断变化，得到的泛函值J（X）=1/2(T(X),X)-(X,F)也在不断变化。你就形象的理解了泛函。
当X取得偏微分方程的解X0时，J（X）取得了极小值，这个极小值是个负数，而不是零。相当于弹簧问题取得解X0时，J（X0）=1/2*X0*K*X0-F*X0=-1/2*F*X0
这是一个负值。比初始状态对应的J（0）=0还要小；当X取其他值时，对应的J的值都比J（X0）=-1/2*F*X0 大。
从这里例子中可以明显的看出J（X）其实是一个不伦不类的东西，它的两部分都有物理意义，但是整体式没有物理意义，这是一种数学构造，这个表达式的导数方程
或者变分方程（变分法中称之为欧拉方程或者奥氏方程）就是平衡方程K*X=F或者微分方程T（X）=F。
在拉格朗日使用他的方式表达变分的定义后，变分法发展很快，慢慢地依据弗里德里希兹定理可以构造很多领域的泛函J（X）=1/2(T(X),X)-(X,F)，构造的方法被称之为
一个新的原理：最小势能原理，从数学上三种思路的确等价，但是前两种思路或者原理发明在前，第三种思路发明在后，所以拉格朗日叹息说：“世界的原理只能被牛顿发明
一次，可惜我出生在他之后，不然我也发现了一个新的原理，足以表明自然界的运行规律”。现在来看拉格朗日的方法的确比牛顿的方法好，不仅适用于力学，而且适用于热学，电磁学....。
假如我们在中学或者大学先学习拉格朗日的方法，而不是牛顿的方法，我想我们就会对这个道理明白得透彻些。
总之：三种思路是等价的，即
偏微分方程 《======》能量守恒定理 《========》 “最小势能原理”
理解偏微分方程 《======》能量守恒定理很容易，理解偏微分方程《========》“最小势能原理”有些困难。下面进行详细说明
首先偏微分方程========》“最小势能原理”，可以由弗里德里希兹定理解决。看变分法的书籍。
再次看偏微分方程《========“最小势能原理”的分析思路。
我们还是先看看弹簧的问题中是怎么求解的吧。
弹簧问题中方程是K*X=F，对应的函数1/2*X*K*X---F*X 求导就得到方程K*X=F，在驻点X0必须满足K*X0=F，似乎求导就可以解决问题，但是导数不是解决问题方法的本质，增量才是本质。
我们知道导数是微商之比的极限，设有函数y（x），微分dy=y'*dx,dy是增量的线性主部（和dx成线性关系，只和x0相关，和dx无关，derta-dy是dx的高阶无穷小），当y'=0时，dy=0.
也就是说，在X0出取得驻值（以极小值为例），那么当X取得一个增量dx>0,那么y（x+dx）>y(x);当X取得一个增量dx<0,那么y(x+dx)>y(x).但是无论哪种情况，dy总是等于0.原因是由于
极限的局部保号性，即导数y'=lim(dert_y/dx)存在，那么在dx很小的时候，导数y’的符号不会变化。
下面用y(x)在x处取得极小值为例，假设y'(x)>0,则当dx很小（无论为正还是负），derta_y/dx>0.但是当y（x）在dx>0时取得增量derta_y>=0，有dert_y/dx>=0 ;
在dx<0时取得增量derta_y>=0,dert_y/dx<=0,所以由反证法，可以知道y'在x处必定等于0。
综上，函数取极值可以用dy=0表示。
对于泛函取极值的问题，思路也是一样的，令函数X有一个增量deter_X. 其中derta_X也是一个函数，比较J（X+derta_X）与J(X)的大小,或者判断DJ=J（X+derta_X-J(X)的符
但是现在问题来了，我们不能采用导数的定义了，因为DJ是两个数值之差，仍然是一个数值，而derta_X是一个函数，不能用数值DJ除以derta_X取极限，所以拉格朗日想了一个很好地办法，就是引用
一个数值参数a，用a*derta_X替代derta_X分析，J（X）的增量变为DJ=J（X+a*derta_X）-J(X),把比值DJ/a取a趋于0的极限lim（DJ/a）,称之为泛函J（X）在X处的变分。
现在表达式DJ/a中分子分母都是数值了，可以做运算,问题转化为普通函数的极值问题了。仔细分析下，derta_X仍然可以取任意的函数，而a相当于对derta_X这个自变量取了一个尺度的缩放。没有影响到derta_X可取的函数类。
以J（X）在X处取得极小值为例，当derta_X取任意函数，且a>0，那么总是有J（X+a*derta_X）>=J(X),有DJ/a>=0;当derta_X取任意函数，且a<0，那么总是有J（X+a*derta_X）>=J(X),有DJ/a<=0,那么由和微积分相同的分析，
可以知道在X处极限lim(DJ/a)=0,由此可以得到一个表达式，运用“微积分基本定理”（在变分法的书籍中有叙述），就可以得到为微分方程了，这个方程在变分法中称之为欧拉方程或者奥氏方程。
我们知道函数在某点取得极值，那么在该点导数y'为0，这一结论不仅适用于二次函数，也适用于任意复杂的函数，同样的，泛函在某个函数X处取得极值，也有泛函的变分lim（DJ/a）=0
只不过对于二次函数1/2*X*K*X-F*X,导数方程是一个线性方程K*X=F，对于二次泛函J（X）=1/2(T(X),X)-(X,F)，得到的是一个线性的偏微分方程T(X)=F.
以上说明了偏微分方程《========“最小势能原理”的分析思路。
综上，证明了偏微分方程 《======》能量守恒定理 《========》 “最小势能原理”的等价性。
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发表于 2014-9-26 17:34:45
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