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楼主: liuichini

[B. 固体] 有限元思路

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 楼主| 发表于 2014-10-26 10:55:11 | 显示全部楼层 来自 湖北武汉
tonnyw 发表于 2014-10-26 01:14
非常高兴有这样的讨论,对于强弱形式的定义,在有限元领域已经约定俗成。你所附的资料,由于时间关系只能 ...

好的,期待你的指正。
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发表于 2014-10-29 23:28:45 | 显示全部楼层 来自 美国
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本帖最后由 tonnyw 于 2014-10-29 23:30 编辑
liuichini 发表于 2014-10-26 10:55
好的,期待你的指正。

有一点不明白。你在等效积分形式中直接引入单元离散,我感觉应该是分步积分得到弱形式后,再引入离散化。可以看出这里的算子A对导数的要求没有弱化。

从4.1.2.1 到 4.1.2.3, 是不是可以说外力(体力和面力)虚功的变化等于虚应变能的变化? 不知道4.1.2.3中L代表什么意思。

关于单元划分原则:
我不太理解”复杂小片将导致在小片上逼近函数构造上的困难,同时不利于各个小片组装成整个求解域,即导致分片本身的困难”, 能否更详细说明一下?

“能够以足够的精度逼近任何求解域”,我也不明白。

我的理解是单元划分尽可能形状规则,在材料不连续出,几何形状不连续处,载荷不连续出等等可以引起解不连续的地方设计为单元界面或者节点连接处。

在最后一页,我觉得应该有两个约等号。首先,把连续的空间离散为单元,这里引入约等号,接着在各个单元上引入形函数估计精确解,这里应该还有个约等号。



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 楼主| 发表于 2014-10-31 18:10:12 | 显示全部楼层 来自 湖北武汉
有一点不明白。你在等效积分形式中直接引入单元离散,我感觉应该是分步积分得到弱形式后,再引入离散化。可以看出这里的算子A对导数的要求没有弱化。
——————————
我当时的考虑主要是便于学生理解,针对一般的方程给出分部积分后的弱形式,学生理解上有困难,因为没有中间过程。我教的是虽然是力学专业,但是他们数学基础不够好,一方面习惯于具象思维,不一定要看到实物,但至少要有个可以想象的东西,他们无法想象一个方程可以使研究对象。
至于离散化是否一定要在弱化后方程上进行,我倒是没有想过。我个人的经历实际上也只是处理存在泛函的情况,所有的推导都是基于泛函的变分进行的。

——————————

从4.1.2.1 到 4.1.2.3, 是不是可以说外力(体力和面力)虚功的变化等于虚应变能的变化? 不知道4.1.2.3中L代表什么意思。
——————————————
这个推导的出发点是徐芝纶的弹性力学上册的第11章。
我写这个东西的起因就是有学生不理解4.1.2.3节最后一式(王著的推导就是从这里开始的),我考虑到学生们学过弹性力学,教材就是用的徐芝纶的那本,所以,就从他们学过的知识开始。

——————————————
关于单元划分原则:
我不太理解”复杂小片将导致在小片上逼近函数构造上的困难,同时不利于各个小片组装成整个求解域,即导致分片本身的困难”, 能否更详细说明一下?
——————————————
比如说,要在一个三角形上构造一个基于三个插值节点的插值函数,肯定要比在一个7边形上构造插值函数容易多了。
自然,用M个三角形去拼一个几何形状肯定也比用一堆七边形去拼同样的几何形状要容易。
下面那一句就好理解了。
你的再下一段,跟我在这里想要说的不同,我这里只是想说明,要分片(也就是离散),那么我们该怎么选取小片(也就是单元)的几何形状,当然,从逻辑上讲,确实应该放在这块,只是在讲课时,暂时放下,因为讲了学生也不大容易听进去,我猜测这也是大多数有限元教材在这一部分处理简单的原因吧,王著干脆连单元形状都不讲,网格剖分的相关内容放在第五章

——————————————

“能够以足够的精度逼近任何求解域”,我也不明白。

我的理解是单元划分尽可能形状规则,在材料不连续出,几何形状不连续处,载荷不连续出等等可以引起解不连续的地方设计为单元界面或者节点连接处。

在最后一页,我觉得应该有两个约等号。首先,把连续的空间离散为单元,这里引入约等号,接着在各个单元上引入形函数估计精确解,这里应该还有个约等号。
——————————————
你说的对,将单元上的位移场替换为用形函数表示的形式后应该还有个约等于。

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发表于 2014-10-31 19:30:40 | 显示全部楼层 来自 江苏
刚刚看了一下这个附件,我本来打算打印出原附件,并在上面做一些标记,结果发现并不可打印。来增加温度,提几个小的。
(四)4.1.2.1 中 提到 “总的形变势能 ”, 这个可能是徐之轮的用词,但是其实就是strain energy 或 deformation energy ,总势能=应变能+(有的人用-,最终意义一样)外力势能,在英文中似乎未见到 deformation potential 这种说法。
四)4.1.2.2 对Lagrange 变分稍微更进一步的解释 ? 或Lagrange 变分是对L=T-V 求变分 ? (这个L叫Lagrange 势,但是对它变分似乎叫做保守系统的Hamilton原理)对静力,T=0,所以这等价于最小势能原理。
四)4.1.2.3 “由于虚位移是微小的,故有”, 这个虚位移和力无关联,所以这种因果关系并不存在。也见到一些书(不记得是不是徐之轮书)也出现过类似的话语。
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 楼主| 发表于 2014-10-31 22:53:26 | 显示全部楼层 来自 中国
ggbbggb 发表于 2014-10-31 19:30
刚刚看了一下这个附件,我本来打算打印出原附件,并在上面做一些标记,结果发现并不可打印。来增加温度,提 ...

先解释一下为何设置为不可打印,我的本意是不希望学生扩散,因为写这些东西只是给学生辅助理解课程内容用的,一般都是配合着讲解,内容有问题时,往往在讲解时就会发现,然后提出来,但很多学生为了上网挣积分,就把老师给的东西虽然发到网上,不加任何说明。
你说的第一点,我倒是觉得不是大问题,我确实是用的徐芝纶的说法。但从道理上讲是讲得通的,至于外文上是否有类似的说法,确实没有深究过,就在码这些字的时候我搜了一下,还真有。
第二点,微小的虚位移的“微小”的修饰应该是必要的。否则无法交换。
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发表于 2014-10-31 23:30:44 | 显示全部楼层 来自 美国
ggbbggb 发表于 2014-10-31 19:30
刚刚看了一下这个附件,我本来打算打印出原附件,并在上面做一些标记,结果发现并不可打印。来增加温度,提 ...

4.1.2.3 “由于虚位移是微小的,故有”, 这个虚位移和力无关联,所以这种因果关系并不存在。也见到一些书(不记得是不是徐之轮书)也出现过类似的话语。
》》我的理解是由于微小位移,力的大小方向都保持不变,所以才会有
delta u*f = delta (u*f)
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发表于 2014-11-1 00:24:59 | 显示全部楼层 来自 江苏苏州
本帖最后由 tonnyw 于 2014-11-1 12:08 编辑
tonnyw 发表于 2014-10-31 23:30
4.1.2.3 “由于虚位移是微小的,故有”, 这个虚位移和力无关联,所以这种因果关系并不存在。也见到一些 ...

这个力 在最小势能原理和虚位移原理中 保持不变 不是虚位移 微小 导致的!两者一个是虚的,一个是实的,没有因果关系。虚位移本身也可以是大的 ,虚功那部分照样是F*(虚位移),只是别的部分可能要变(如不可以用小虚位移下虚位移与虚应变关系)。


再者,考虑前面很多讨论所关心的等效积分问题,虚位移就是那个weight function或test function。我们只要它admissible,没有要求它小。


这也是对 楼主的 回复。


应用最小势能原理,首先得到泛函,然后对泛函应用变分原理,是不是跟是虚是实没有关系?

点评

上面最后句可能是版主的点评。 在这回复一下,最小势能原理中,我们的势能取为自变函数 u的 函数,势能变分转化为对u的变分 (也即虚位移)  发表于 2014-11-1 13:11
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发表于 2014-11-1 05:38:48 | 显示全部楼层 来自 美国
ggbbggb 发表于 2014-11-1 00:24
这个力 在最小势能原理和虚位移原理中 保持不变 不是虚位移 微小 导致的!两者一个是虚的,一个是实的, ...

很高兴有这样的讨论。

但是外部载荷有可能依赖位移,如果不假设是微小唯一的话,那么对载荷也要变分处理。

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 楼主| 发表于 2014-11-1 09:20:58 | 显示全部楼层 来自 湖北武汉
本帖最后由 tonnyw 于 2014-11-1 12:04 编辑
ggbbggb 发表于 2014-11-1 00:24
这个力 在最小势能原理和虚位移原理中 保持不变 不是虚位移 微小 导致的!两者一个是虚的,一个是实的, ...

这里其实有两个问题,第一,就是关于虚位移的性质,是否必须为微小量;第二,就是在我给的那个式子中微小的要求是否必须。
这里先说第二点,我的理解与tonnyw版主是一致的,是必须的,理由也是同样的。
第一点,我还真是没有仔细扣过这个虚位移的概念,不过,ggbbggb把虚位移作为试函数的一种,又因为试函数没有大小限制去论证的思路,却是我不能认同的。其实,我一开始想请教tonnyw版主的也跟这个有关,在等效积分里,v和v_bar函数的任意性限制较少,从而可以比较好构**例通过反证法证明等效性的逆命题,到了线性自伴随微分方程通过泛函变分得到的积分形式,我原来是对其等效性存疑的,之所以存疑,原因就在于我认为与v和v_bar类似的函数的任意性受到了较大的限制,在此基础上是否还能采用反证法证明等效性的逆命题我原本是有些怀疑的,对最小势能原理的等效性的存疑也是类似的原因。

从Johnson书上截取了几页,不知道对我们的讨论有帮助。

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发表于 2014-11-1 10:51:24 | 显示全部楼层 来自 江苏苏州
tonnyw 发表于 2014-11-1 05:38
很高兴有这样的讨论。

但是外部载荷有可能依赖位移,如果不假设是微小唯一的话,那么对载荷也要变分处理 ...

我也很高兴能有这样的讨论

从版主和楼主认同的说法“。。。那么对载荷也要变分处理”,想核实一下 ,意味着,抛开原理不说,delta F 在所讨论的物理系统中(一根简直梁在一个集中力F作用下产生变形)必须为0 ?
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发表于 2014-11-1 11:04:30 | 显示全部楼层 来自 江苏苏州
本帖最后由 ggbbggb 于 2014-11-1 21:26 编辑
liuichini 发表于 2014-11-1 09:20
这里其实有两个问题,第一,就是关于虚位移的性质,是否必须为微小量;第二,就是在我给的那个式子中微小 ...

关于后面这些(也即第一点),我想我们前面的那些讨论回复了这个问题。如果我们不考虑连续存在等东西(我们工程师/物理学家等的惯用伎俩)。我们基本认为两者等价(该势能存在的条件,如自伴随时),至少从势能驻值条件(当你用弹性下的势能,也当然只能适用弹性)和等效积分弱形式(完全可以叫做“虚位移原理”)可以互推。 我说的“基本等价” 是因为你提到最小势能原理,势能取驻值而且势能最小 (关于这个最小我只见过对弹性情况可以证明)。很多时候,我们说势能最小原理,往往指它的必要条件 (势能取驻值)。简言之,对弹性问题,它们就是等效(这个连续存在问题default满足)。

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发表于 2014-11-1 11:50:50 | 显示全部楼层 来自 美国
ggbbggb 发表于 2014-11-1 10:51
我也很高兴能有这样的讨论

从版主和楼主认同的说法“。。。那么对载荷也要变分处理”,想核实一下  ...

在我看来liuichini的推导是应用虚位移原理。这是Bathe书中对虚位移原理的定义:
“For any compatible small virtual displacements imposed on the body in its state of equilibrium, the total internal virtual work is equal to the total external virtual work."

Bathe特意对"small"做了额外注解,引用如下:
“We stipulate here that the virtual displacements be "small" because the virtual strains corresponding to these displacements are calculated using the small strain measure. Actually, provided this small strain measure is used, the virtual displacements can be of any magnitude and indeed we later on choose convenient magnitudes for solution."

我的对他的话的理解是,所谓的小位移是指所产生的应变小。

点评

这和我47楼的意思相符合。  发表于 2014-11-1 12:01
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发表于 2014-11-1 11:55:04 | 显示全部楼层 来自 美国
ggbbggb 发表于 2014-11-1 10:51
我也很高兴能有这样的讨论

从版主和楼主认同的说法“。。。那么对载荷也要变分处理”,想核实一下  ...

从版主和楼主认同的说法“。。。那么对载荷也要变分处理”,想核实一下 ,意味着,抛开原理不说,delta F 在所讨论的物理系统中(一根简直梁在一个集中力F作用下产生变形)必须为0 ?
》》集中力在变形过程中,大小方向都保持不变,delta F是为0.
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发表于 2014-11-1 12:05:37 | 显示全部楼层 来自 江苏苏州
tonnyw 发表于 2014-11-1 11:55
从版主和楼主认同的说法“。。。那么对载荷也要变分处理”,想核实一下 ,意味着,抛开原理不说,delta F ...

如何理解 虚功原理中另一个 (虚力原理), 最小互补能原理,和HW. 这些中的“虚位移”有 “力”的变分了。只是在最小势能原理和常指的虚位移原理中 deltaF=0
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发表于 2014-11-1 12:42:11 | 显示全部楼层 来自 美国
ggbbggb 发表于 2014-11-1 12:05
如何理解 虚功原理中另一个 (虚力原理), 最小互补能原理,和HW. 这些中的“虚位移”有 “力”的变分了 ...

我的理解是,不管最小余能原理还是最小势能原理,都是得对相应的能量泛函应用变分,比如泛函中有一项为 int_omega(f*g) dQ, 那么此项的变分即为 int_omega(delta f * g + f*delta g) dQ, 只不多对面力或者体力的变分为0而已,我这么理解对吗?
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发表于 2014-11-1 19:45:32 | 显示全部楼层 来自 江苏
本帖最后由 ggbbggb 于 2014-11-1 21:34 编辑
tonnyw 发表于 2014-11-1 12:42
我的理解是,不管最小余能原理还是最小势能原理,都是得对相应的能量泛函应用变分,比如泛函中有一项为 in ...

我这个反驳的例子似乎不是特别好,在虚互补能原理或叫虚力原理中,我们在集中力处可以给个虚力deltaF(不是0),如让deltaF=1来求该点的位移就是标准的虚单位力法。这样讨论可能会分散焦点。

我们把讨论缩小一点(我们在讨论外力保持不变是否是由于虚位移微小这个问题),我们可以取一个质点来运用虚位移原理。2个力F1-F2=0, 虚位移原理F1 detla u-F2 detla u=0 (这里delta u =100,10000没问题),而F1,F2保持不变不是因为delta u 的大小来决定的 (delta u可看成是个数学工具)。 如果要一个连续体,也可以类似,就回到BATHE那段,delta u照样可以是很大。F保持不变不是虚位移微小的结果。
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发表于 2014-11-1 22:26:42 | 显示全部楼层 来自 美国
ggbbggb 发表于 2014-11-1 19:45
我这个反驳的例子似乎不是特别好,在虚互补能原理或叫虚力原理中,我们在集中力处可以给个虚力deltaF(不 ...

我明白了虚位移大小的问题,只要这个虚位移满足应变能有限和几何边界条件就可以。我现在的问题是假如给出泛函,该泛函的一阶变分为了零,我们就可以得到弱形式,假设变分中含有 int_omega(f*u) dQ这一项,那么如果我们应用变分的话,是否应该是 int_omega(delta f*u + f * delta u) dQ,只不过这里delta f = 0。

当然如果使用虚位移原理直接得到弱形式,外力虚功我们可以直接使用 int_omega(f*delta u),而且这个虚功表达式能够使用的前提条件也是在delta u发生的过程中, f 保持不变。

点评

我觉得可这么认为。  发表于 2014-11-1 22:43
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发表于 2014-11-1 22:59:15 | 显示全部楼层 来自 美国
tonnyw 发表于 2014-11-1 22:26
我明白了虚位移大小的问题,只要这个虚位移满足应变能有限和几何边界条件就可以。我现在的问题是假如给出 ...

现在我的问题来了,对于线性问题使用能量泛函然后应用变分原理,理解起来没有问题。但是对于非线性问题,比如大变形,那么不只问题域Omega变化而且面力(如压力)的大小和方向随位移改变(即荷载是deformation-dependent),如何把在积分符号之外的变分符合移到积分符号之内?

点评

最小势能原理实用保守力系统,你描述的外力随变形变化的情况属于非保守体系,用虚位移原理 。  发表于 2014-11-2 00:06
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 楼主| 发表于 2014-11-1 23:48:29 | 显示全部楼层 来自 中国
我认为,ggbbggb在质疑那个“故有”时犯了一个逻辑错误,要把那个“故有”**,举一个例子说,存在某种情况下,不需要虚位移微小,“故有”后面的结论仍然成立,这个在逻辑上是说不过去的。
当然,也有人不从虚位移微小来推导,而是从虚位移的定义出发,因为所谓虚位移不需要满足应力边界条件,因此f_bar与虚位移无关,自然就可以交换了,但问题是,如果不是微小的虚位移?我们还能说两者无关吗?这个问题,我的直觉是有关的,不过只是直觉而已。有空时再深思一下。
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发表于 2014-11-2 00:24:06 | 显示全部楼层 来自 江苏苏州
liuichini 发表于 2014-11-1 23:48
我认为,ggbbggb在质疑那个“故有”时犯了一个逻辑错误,要把那个“故有”**,举一个例子说,存在某种情况 ...

关于你讲的 这些 看了有点糊涂。  “。。故有。。”也是直觉 ?
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