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[B. 固体] 嵌入坐标系,协变基失 G_i 非t函数,逆变基失G^i是t的函数?

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发表于 2014-11-12 09:31:11 | 显示全部楼层 |阅读模式 来自 陕西西安
悬赏1仿真币未解决
本帖最后由 TBE_Legend 于 2014-11-14 20:09 编辑

下图的嵌入坐标系(或随体坐标系),哪位能解释下 初始构形的协变基失 G_i 非t的函数,而逆变基失G^i是t的函数?

谢谢


这是QQ群里面(张量 + 连续介质  QQ群: 226413353)一个朋友问我的一个问题,但我也吃不透,就来着问问大家了。

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发表于 2014-11-13 09:52:50 | 显示全部楼层 来自 日本
Simdroid开发平台
\G^i \G_j = \delta^i_j
Is it mathmatically poosible that one varies but another keeps constant?
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发表于 2014-11-14 03:46:08 | 显示全部楼层 来自 美国
这是那本书里的? 初始构型相当于t=0时候的构型,G_i和G^i都应该非t的函数啊,相当于g_i(t=0),g^i(t=0)。协变基和逆变基只是在从reference configuration 变形到current configuration是的转换规则不同,但在reference configuration 都和时间无关的啊。
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发表于 2014-11-14 12:05:37 | 显示全部楼层 来自 美国
It strikes me that this might be some typo. Inform the book author on this.
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 楼主| 发表于 2014-11-14 20:02:09 | 显示全部楼层 来自 陕西西安
本帖最后由 TBE_Legend 于 2014-11-14 20:10 编辑
tonnyw 发表于 2014-11-14 12:05
It strikes me that this might be some typo. Inform the book author on this.

《Introduction to Finite Strain Theory for Continuum Elasto-Plasticity》 P120

http://as.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-1119951852.html

2012 年出版的新书

Author(s): Koichi Hashiguchi, Yuki Yamakawa

Published Online: 24 SEP 2012 08:00PM EST

Print ISBN: 9781119951858

Online ISBN: 9781118437711

DOI: 10.1002/9781118437711

我不认为作者会犯这样的错误。
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 楼主| 发表于 2014-11-14 20:05:56 | 显示全部楼层 来自 陕西西安
本帖最后由 TBE_Legend 于 2014-11-14 20:10 编辑
hillyuan 发表于 2014-11-13 09:52
\G^i \G_j = \delta^i_j
Is it mathmatically poosible that one varies but another keeps constant?

此图的右下角给出了 数学公式

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发表于 2014-11-15 00:48:21 | 显示全部楼层 来自 美国
TBE_Legend 发表于 2014-11-14 20:02
《Introduction to Finite Strain Theory for Continuum Elasto-Plasticity》 P120

http://as.wiley.com/ ...

这本书里好多typo好不好
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发表于 2014-11-15 08:31:05 | 显示全部楼层 来自 日本
TBE_Legend 发表于 2014-11-14 20:05
此图的右下角给出了 数学公式。

It is a typo.
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 楼主| 发表于 2014-11-15 15:39:56 | 显示全部楼层 来自 陕西西安
本帖最后由 TBE_Legend 于 2014-11-15 15:46 编辑
tonnyw 发表于 2014-11-14 12:05
It strikes me that this might be some typo. Inform the book author on this.

有typo,一眼就能看出来的一些typo,这正常,并不妨碍这仍是一本好书。我读了一大半,也遇到几处typo,一点都不妨碍全文的理解,待读完也打算把这些typo发给作者。

但关于我问的这个问题,作者在正文中给了一段话来解释,见P119,所以我认为应该不是typo。

希望 tonnyw 能再给看看 。我仍然相信 P119的这段话是对的,和x_i不是坐标是一个道理,为了保持对偶关系,x_i不再能是坐标。此处也如作者解释,为了保持对偶,G^i不能像G_i那样随体了。
yuan老师对那个t的理解似乎不是作者的意思。

总之,我仍然坚信作者是对的,但水平太弱举不出例子或数学证明。 若几位都认为是typo,就只能请教作者本人了。

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发表于 2014-11-15 20:11:44 | 显示全部楼层 来自 日本
本帖最后由 hillyuan 于 2014-11-15 21:18 编辑
TBE_Legend 发表于 2014-11-15 15:39
有typo,一眼就能看出来的一些typo,这正常,并不妨碍这仍是一本好书。我读了一大半,也遇到几处typo,一 ...

为了理解所附文字,浏览了书中的相关内容((2.5)式前后和第三章开头部分), 没有通读,如有误,请指正。下面尽量简短地说说我的看法。

1  关于 contravariant和 covariant矢量的几何表示。
  covariant矢量可以表示为有长度,指向的线段,contravariant不行。用现代一点的数学语言来说
contravariant矢量称为one-form (我一向记不住那个是contravariant,那个是covariant,前面的记述有可能反了,请见谅)。one-form的几何表示比较难,绝大多数专著都没有这一内容。如果我没记错的话,A  geometric differential form to differential form这本书中有。我这里要强调的是one-form不能表示为有长度,指向的线段。书中图2.2作为解释contravariant的covariant垂直关系是可以的,但不是one-form的几何意义。

2  本书定义 embedded坐标为in which the coordinate system is etched in the material and thus translates,极其直观,我想其物理意义是正确的。在数学上它对应于Lie拖带。

3  Here, it should be noted that the reciprocal base cannot be embedded and thus has to be reformed every moment with a deformation because the mathematical relation in equation (2.5) to the primary base cannot be kept if they are embedded.从这段文字可以推测作者似乎把one-form也理解为 etched在变形体的线段。如此的话, 如1所述,It is wrong! 事实上one-form的Lie拖带是存在的。

4. Needless to say, the contravariant components of infinitesimal material line-element vectors in the embedded coordinate system are kept constant, while the primary base {gi(t )} changes 只是说contravariant成分而不是contravariant base本身变化 。这句话也许是对的。

从前述内容来看,楼主提出的问题也许不是单纯笔误。具体怎么看,要靠楼主自己的判断了。

补足
1。搞力学的人写embedded总是不好懂甚至错误,建议看看数学家或熟悉广义相对论的物理学家的论著中的Lie拖带,比如说Schutz的Geometrical methods of mathematical physics的第三章。这一章中,给出了convected的清晰的物理意义,和矢量(covariant)和one-form(contravariant)的Lie拖带公式

2。reciprocal base cannot be embedded这个结论是非常危险的,如果这一结论成立,作者需要一个新型的reciprocal base的objective derivative,否则有关reciprocal base的计算将失去客观性。
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发表于 2014-11-15 21:45:24 | 显示全部楼层 来自 江苏苏州
本帖最后由 ggbbggb 于 2014-11-15 21:48 编辑
hillyuan 发表于 2014-11-15 20:11
为了理解所附文字,浏览了书中的相关内容((2.5)式前后和第三章开头部分), 没有通读,如有误,请指正 ...


感觉hillyuan老师第一点好像是反了。但我不是很确定,

covariant tensor 定义为 Q: E x E x E x E...->R, covariant vector 指上面的特例,也即Q: E ->R, covariant vector  简为covector ?E 对应 dual space (E*)的element 就是covector, 这是 one-form (aka pointcare 1-form?)的概念?
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 楼主| 发表于 2014-11-16 15:56:46 | 显示全部楼层 来自 陕西西安
本帖最后由 TBE_Legend 于 2014-11-16 16:13 编辑
hillyuan 发表于 2014-11-15 20:11
为了理解所附文字,浏览了书中的相关内容((2.5)式前后和第三章开头部分), 没有通读,如有误,请指正 ...

非常感谢yuan老师。关于one-form和Lie拖带我都没有接触过,一点都不懂。
我认为协变基和逆变基哪个随体是一个人为选择的事情,但不能选择两者同为随体基失,这里附上黄克智老先生书《张量分析》第二版 中(P238)的一个截图 和 Koichi Hashiguchi书中,P161的截图。
这个问题我再暂时放放吧,再补补相关知识,待沉淀得有新想法了再来讨论。

借这个机会我想问问yuan老师:流形和外代数和力学的关系大不大? 对搞力学有什么帮助?我在犹豫要不要看这方面的东西,望指点。




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发表于 2014-11-16 16:58:41 | 显示全部楼层 来自 日本
本帖最后由 hillyuan 于 2014-11-16 17:06 编辑
TBE_Legend 发表于 2014-11-16 15:56
非常感谢yuan老师。关于one-form和Lie拖带我都没有接触过,一点都不懂。
我认为协变基和逆变基哪个随体是 ...

上面中文的写法从字面上看是没有大问题的,但你不能深抠。比如说你不能把"并不是随体变化的理解为"理解为不存在随体微分。正确的说法应该是"存在随体变化,该随体变化可以由对偶关系来定义"。同样,我怀疑该段文字的作者是否理解one-form的几何意义。

第二段英文文字非常正确,他给出了矢量和one-form的convected微分。(但是作者前面说了one-form不能embeded,有点自己打嘴的意思?)

但不能选择两者同为随体基失
-〉one-form没有此几何意义,不能理解它是矢量

流形和外代数和力学的关系大不大?
-〉这个我不知道该如何回答。有一点基本知识总是好的,比如说"随体"就是微分几何的概念,现在各种应力的objective derivative都可以解释为Lie derivative。你要理解辛积分格式需要知道one form等等。但至少到今天,它们的应用有限,与学习它们的难度不成比例。但随着力学学者数学水平的提高,也许这种状态以后会有改变吧?
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发表于 2014-11-16 17:14:25 | 显示全部楼层 来自 日本
本帖最后由 hillyuan 于 2014-11-16 17:22 编辑
TBE_Legend 发表于 2014-11-16 15:56
非常感谢yuan老师。关于one-form和Lie拖带我都没有接触过,一点都不懂。
我认为协变基和逆变基哪个随体是 ...

这里给出了Geometric interpretation of a 1-formhttp://en.wikipedia.org/wiki/One-form
http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_form
瞅一瞅吧


one form和矢量变换
http://hillyuan.blogspot.jp/2014/06/1.html
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 楼主| 发表于 2014-11-16 18:38:03 | 显示全部楼层 来自 陕西西安
hillyuan 发表于 2014-11-16 16:58
上面中文的写法从字面上看是没有大问题的,但你不能深抠。比如说你不能把"并不是随体变化的理解为"理解为 ...

谢谢指点,受益颇多。
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