求助：给出基本方程后，如何利用Newton-Raphson迭代进行计算

鬼魅·九幽

在这里请教大家一个问题，我在看文献过程中，许多时候作者给出了问题的方程，包括：1、几何方程；2、材料的本构关系方程；3、虚功方程。然后作者一笔带过地指出，这些非线性方程利用Newton-Raphson法进行求解。
我想知道这些方程具体是怎么一步步求解下去的，有人为我解答下不？或者有没有相应的资料，我找出来参考参考。

求大家帮帮我，谢谢啦

tigerzjie

请参考有限元教材，你“想知道这些方程具体是怎么一步步求解下去的”可以等价为“有限元方法是怎么一步一步求解的”。
大致是：“1、几何方程；2、材料的本构关系方程；3、虚功方程。”就可以得到代数方程KU=F（K刚度矩阵，F结点力向量，U待求结点位移;KU表示内力项，F表示外力项，结点在内外力下平衡），线性问题方程中刚度矩阵K和载荷向量F是常数，由线性代数知识可求得U。 对于非线性问题，得到R(U)=F，内力项不能表示成KU的显示形式，内力项R（类比KU）是随位移变化的不是定值(类比线性问题中KU中的K不是定值)随位移变化，由于R(U)=F是非线性方程，只能通过非线性数值求解方法求解，如Newton-Raphson方法。一般操作是将R(U)=F两边微分，得K(U)*dU=dF，其中K(U)是跟位移相关的刚度矩阵，也是R(U)对位移求导后的斜率（称之为切线刚度矩阵）。先假设一个初始的U0，得到K(U0)，然后带入得到K(U0)*delta_U=R(U0)-F，得到delta_U叠加到原来的U0上修正U值，然后一步一步迭代直到修正量delta_U小于一定误差限值后认为收敛，此时修正后的U就是所要求解的非线性问题R(U)=F的近似解（满足误差要求）。  Newton-Raphson方法也可以参考有限元方法非线性求解部分，或者数值分析教材中相关章节。

xiaoshunxiaohu

:)我是来学习的。不知道！

鬼魅·九幽

xiaoshunxiaohu 发表于 2015-2-26 03:28
我是来学习的。不知道！

好吧，我以为有人能指导了

DF秽土转生

tigerzjie 发表于 2015-3-16 22:49
请参考有限元教材，你“想知道这些方程具体是怎么一步步求解下去的”可以等价为“有限元方法是怎么一步一步 ...

讲的很到位很实在！大赞！

zqun2008

解答的很好，

鬼魅·九幽

原来已经有大神回答了，您说得太对了，谢谢啦~~

鬼魅·九幽

tigerzjie 发表于 2015-3-16 22:49
请参考有限元教材，你“想知道这些方程具体是怎么一步步求解下去的”可以等价为“有限元方法是怎么一步一步 ...

感谢您的回答~~

SKJ吃

讲得很好，但感觉自己的知识储备量不够，理解起来不是很明白

鬼魅·九幽

SKJ吃 发表于 2017-4-21 21:52
讲得很好，但感觉自己的知识储备量不够，理解起来不是很明白

慢慢来，多看点有限元的理论书，就会懂了~

simon1106

tigerzjie 发表于 2015-3-16 22:49
请参考有限元教材，你“想知道这些方程具体是怎么一步步求解下去的”可以等价为“有限元方法是怎么一步一步 ...

感谢分享，但我有个问题，假如用增量迭代法求解材料非线性问题的话，节点处应力是一直增大的，当材料属性快减小到0的时候，这个地方应力应该是接近为0的，说明中间应力有下降段，那怎么捕捉下降段呢？难道只能用弧长法吗？请指教