平面应变问题UMAT中刚度矩阵的表达

lizheng619

按照弹性力学理论 刚度矩阵应该是3x3的，但是平面应变问题来说，epsilon33为0，但是sigma33不一定为0，所以为了计算sigma33，程序会在3x3的矩阵基础上打个补丁变成4x4的。也就是说这其实是刚度矩阵的一个补充。

具体公式表达见图片。

shawn2008

两个不是一回事。 胡克定律的张量表达形式是，
sigma_{ij} = C_{ijkl} epsilon_{kl}
如果采用Voigt符号写成矩阵形式，弹性矩阵应该是6×6， 平面应变是一个特殊的状态，可以缩减成4×4的，也就是你图片中的最后一个公式。 图片最后一个公式之前的采用了张量表达。

keai

shawn2008 发表于 2015-4-23 09:49
两个不是一回事。 胡克定律的张量表达形式是，
sigma_{ij} = C_{ijkl} epsilon_{kl}
如果采用Voigt符号写成 ...

请问版主，楼主，按照您们的意思UMAT中，平面应力问题，雅可比矩阵是3*3了，应力应变分量均为3；
平面应变问题，雅可比矩阵是4*4，应力应变分量是4；三维雅可比矩阵是6*6，应力应变分量分别是6了

keai

请问版主，楼主，按照您们的意思UMAT中，平面应力问题，雅可比矩阵是3*3了，应力应变分量均为3；
平面应变问题，雅可比矩阵是4*4，应力应变分量是4；三维雅可比矩阵是6*6，应力应变分量分别是6了

lizheng619

keai 发表于 2015-4-27 16:41
请问版主，楼主，按照您们的意思UMAT中，平面应力问题，雅可比矩阵是3*3了，应力应变分量均为3；
平面应变 ...

也不能这样说，版主说得更具有一般性一些，平面应力平面应变问题都是可以从一般三维问题简化过去。 但是一般的时候，书本上的平面应力平面应变会忽略一些东西。 大部分书本上平面问题的刚度矩阵是3x3的。 UMAT里面会补上一个33方向上的量。

shawn2008

keai 发表于 2015-4-27 16:41
请问版主，楼主，按照您们的意思UMAT中，平面应力问题，雅可比矩阵是3*3了，应力应变分量均为3；
平面应变 ...

1)  张量和矩阵不是一回事。 应力和应变是二阶张量，弹性刚度是四阶张量。

2） 广义Hook定律采用张量形式表示可以写成 sigma_{ij} = C_{ijkl} epsilon_{kl}, 其中sigma有9个分量，6个独立分量， epsilon也有9个分量，6个独立分量， C_{ijkl}有81个分量。（有多少个独立分量呢？）

3） 只要有sigma_{ij} = C_{ijkl} epsilon_{kl}这个公式已经足够了，你在子程序的编程中可以直接用它。 不过你会发现求解过程需要多次循环，计算起来不方便。

4） 有没有办法简化sigma_{ij} = C_{ijkl} epsilon_{kl}呢？ 使编程更方便？ 当然可以， 采用Voigt符号可以把应力、应变、弹性刚度张量分别转化成矩阵形式, 比如定义 11->1, 22->2, 33->3, 12->4, 13->5, 23->6。 这样我们可以把具有6个独立分量应力二阶张量写成6个元素的向量， 应变也可以写成6个元素的向量， 弹性刚度写成6行×6列的矩阵。(有没有零元素？)

5） 对于平面应力或平面应变状态，因为有些元素为零， 6行×6列的弹性刚度矩阵可以缩减为3行×3列，或4行×4列的。

6） 当我们采用张量表达形式时，不要说张量是几行几列的，通常说张量是几阶张量，而采用Voigt符号表示时我们才说矩阵是几行几列。

7） 虽然有时我们把sigma_{ij}表示成3行×3列的矩阵，但看到这个矩阵的时候，你只需把它看成sigma_{ij}就行了，因为这时我们没有采用Vogit符号表示方法。

8） 张量表达式和Vogit符号表达是两个不同的数学形式，它们的区分也很简单，矩阵的下标如果没有按照 11->1, 22->2, 33->3, 12->4, 13->5, 23->6进行变换，这就是张量表达。

keai

shawn2008 发表于 2015-4-28 13:49
1)  张量和矩阵不是一回事。 应力和应变是二阶张量，弹性刚度是四阶张量。

2） 广义Hook定律采用张量形式 ...

之前很少关注应力应变分量的张量表示，接触的大多是voigt notation, 以至于一些模糊概念的产生，通过这次编写平面问题的umat，学到了不少，感谢版主细致入微的解释！

keai

lizheng619 发表于 2015-4-27 20:19
也不能这样说，版主说得更具有一般性一些，平面应力平面应变问题都是可以从一般三维问题简化过去。 但是 ...

嗯，多谢楼主分享了
平面应力问题，umat需要返回3*3的雅可比矩阵，昨天验证了一下

113soim

keai 发表于 2015-4-28 18:08
嗯，多谢楼主分享了
平面应力问题，umat需要返回3*3的雅可比矩阵，昨天验证了一下 ...

请问您是怎么验证的？我想编一个平面正交各向异性的本构，一直报错

孙浩然jun

本构具体怎么搞啊

倚天照海

谢谢版主的解释，这下稍微懂一点了！

yysuo

这个帖子很好，解答了我的疑惑