第八章：声波的反射与吸收-4

CAE大拿

第二篇：线性声学基本现象

第八章：声波的反射与吸收

8.4关于声阻抗概念的若干说明

8.4.1  声阻抗的正负号

阻抗的定义为声压与速度的比值，由于速度是矢量，因此阻抗的值取决于速度的方向。我们可以计算x，y，z三个方向上的阻抗，或者计算某各平面法方向上的阻抗。在考虑表面的吸声性质时，我们经常使用法向阻抗的概念。假设某表面的法向阻抗为Zn，并设面上某点的声压为p。此点的法向声强则为：

当法向声阻抗的实部取正值时，法向声强与平面的法方向同向；而当法向声阻抗的实部取负值时，法向声强与平面的法方向反向（图8.22）。声波的吸收是指流体中的一部分能量转移到了吸声的表面上，这里不论表面的法向阻抗为正值或者负值。

图8. 22：声阻抗的符号取决于表面法向的定义

8.4.2 声阻抗的频率依赖性

阻抗随频率的变化特性反映出如下事实：声压与速度的关系并不是简单的在局部时刻上的关系。正相反，瞬时的速度取决于声压在时间上的历程；反过来，瞬时的声压也取决于速度在时间上的历程。因此，频域上声压与速度的比例关系在时域上则表现为时间历程上的卷积关系：

上式中，z与a的定义为：

显然，在时刻t的声压不能取决于未来时刻的速度，此时的速度也不可能取决于未来时刻的声压。因此z(t)与a(t)的信号在t<0时必定为零，这一点限制了Z(ω)与其倒数A(ω)相对于频率的依赖关系。如果阻抗对于频率的变化相对规律，那么可以用两个关于(iω)的多项式的比值来近似阻抗的值（帕德近似）：

因此频率域上声压与速度的关系可以被写成：

对上式进行逆向傅里叶变换，可以得到时间域上的关系：

可见，若声阻抗随频率的变化可以写成帕德近似的形式，那么在时间域上则可以推导出声压与速度以及它们的各阶导数之间的线性关系：

8.4.3 振动与吸声壁面

从纯数学的观点出发，亥姆霍兹方程（声压在频率域的控制方程）允许存在如下三种边界条件中的任意一种：

l  狄利克雷（Dirichlet）：固定声压p的条件

l     纽曼（Neumann）：固定的法向压力梯度（ ）或者法向速度（vn）

l  洛平（Robin）：声压与法向速度的线性关系（ap+bvn=c）

法向阻抗边界条件实际是洛平边界的一种特殊形式，对应的系数取值为：a=1,b=-Zn, c=0。我们可以将此条件进一步推广为更普遍的形式，即考虑柔性的吸音边界条件。如果壁面以法向速度vs振动，而覆盖在壁面上材料的法向声阻抗为Zn，那么声压与流体粒子运动速度vf之间的关系为：

可见由于阻抗的存在，产生了壁面运动速度与其附近流体粒子运动速度的差别。

8.4.4 吸声材料的局部与非局部作用

一般来说，阻抗边界条件均被直接设置于声学区域的边界表面上。在这种情况下，材料的吸声现象被认为是局部的，即吸声材料在局部的各个位置上限制了声压与法向速度的关系。在现实中，吸声材料总会有一定的厚度（如图8.23）。而能量耗散也仅会在声波与存在有限体积的耗散媒质发生作用时才会产生，关于耗散媒质（多孔材料）会在今后的14章进行讨论。为了精确的模拟吸音材料，我们必须选择如下两种方式之一：

l  在模型中包含两种材料：空气材料和吸音材料，并在两种材料的交界面上创立连续条件。在吸音材料与空气接触面的另外一个面上定义其边界条件，例如粘贴在基底上的速度边界条件（图8.23A）

l  在模型中仅生成一种材料，即空气材料。在其与吸音材料接触的表面上定义描述材料吸音现象的边界条件。这种边界条件在理想上应该是非局部的，这是因为现实中从材料上Q点发出的声波是在其他点（如P点或P’点）进入该材料声波的结果，见图8.23D。

在实际问题中，我们经常仅模拟材料的局部阻抗，而忽略了材料的厚度和由此产生的非局部现象（图8.24C）。在前面章节中的图8.5显示了通过这种方式进行模拟会使平行声波入射时（θ=90o）吸音系数趋于零。这是由于这种模型认为声学材料没有厚度，在声波平行入射时法向速度为零，所以声波不会和厚度无限薄的材料产生相互作用。这种情况下，无论声阻抗的数值为何，均不会产生能量耗散现象。现实中的材料是有厚度的，对平行入射的声波也会产生能量耗散。另外，在入射波的波前位置，当声波与材料接触时波形会产生变形，这是由于声波在空气中和在材料中传播的声速不同而产生的。

图8. 23：局部反应与非局部反应的吸声材料。图A中符号q表示流量，在空气侧为v，在吸声材料测为Ω.v，Ω为多孔材料的孔隙率。此概念在后面的14章中会介绍

图8. 24：具有局部效应的吸声材料示例，图中展示的为表面覆盖着穿孔板的蜂窝状结构

8.4.5 驻波管中的声阻抗测试

使用Kundt tube 【2】，即昆特管（在声学测试中也被称作驻波管）可以测量材料的声阻抗。下面介绍测量的理论与方法。

首先讨论理论解

考虑一个长度为l的管子，在其左侧开口处受到一个活塞振动的激励。在管道的右侧放置一个阻抗未知的材料试样。我们将材料的阻抗先预设为Z=z.ρc （如图8.25）。管道中的声压可以表示为：

图8. 25：Kundt tube中的声阻抗测试示意图

管道两侧的边界条件为：

或者写成如下形式：

对此方程系统进行求解，可以得到声压的表达式：

若管道的终止端为开口边界条件，那么我们可以用将上式中z设为0的方式模拟，这样可得到管道内的声压分布：

若管道的终止端为封闭边界条件，则对应z为无穷大，此时管道内声压分布为：

若假设管道终止端对声波全部吸收，即不产生任何反射，那么对应的阻抗条件为z=1（或者Z=ρc），此时管道内声压分布为：

上面最后一种情况没有反射波的存在，声压表达式与单方向平面波一致。

阻抗的测量步骤

此处简单介绍使用驻波管测量材料声阻抗的原理。在管道中放置一个可以移动位置的麦克风。延管道方向移动麦克风并定位声压的平方取最小值和最大值的两个点，将这两个位置分别记为xm和xM，其声压平方值为|pm|2和|pM|2。并依据此信息定义且计算如下两个系数：

如果我们用zr、zi、|z|分别表示阻抗的实部、虚部和模，那么管道内的声压平方值可以写成如下形式：

丛上式可以推导出声压平方的最大值产生于下式成立的条件下：

由此可以解得：

接下来可以计算系数β，

进一步将阻抗的模写到式子的左侧：

于是我们得到阻抗的实部和虚部分别为：

上式中我们选择了平方根的正值，这是为了保证在x=l位置处能量可以被耗散。

下面总结驻波管测量阻抗的步骤：

1， 测量xm, xM, pm和pM

2， 使用公式8.65，8.66计算α，β的数值

3， 使用8.71式计算声阻抗的模

4， 使用8.72式计算声阻抗的虚部

5， 使用8.73式计算声阻抗的实部

材料的声阻抗一般是和频率相关的，因此需要在所有关心的频率重复进行上述测量。

以上所述的手动测量方法如今已经较少被用到。现代的驻波管一般安装若干个位置固定的麦克风并同时记录整个频率域的声压信号。这些测量信号经由数值处理即可给出阻抗的数值。

【2】      August Kundt (1839-1894)，昆特，德国物理学家，以发明昆特管知名。昆特在其他领域同样有建树，如证明了汞的单原子性质。昆特曾经是亥姆霍兹的助手，而昆特本人也曾有一位赫赫有名的助手，就是发现X射线（亦称伦琴射线），并以此获得首届诺贝尔物理学奖的德国物理学家威廉·伦琴

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