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数理方程与有限元分析

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发表于 2011-8-18 13:45:55 | 显示全部楼层 |阅读模式 来自 北京
本帖最后由 anhei245 于 2011-8-18 13:47 编辑

描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式,特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程,例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程就是所谓的数学物理方程。当然,几何学中的很多问题也是可以用偏微分方程来描述的。
  一、在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程,即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题,由于研究的深入,也必须重新考虑非线性效应。对非线性偏微分方程研究,难度大得多,然而对线性偏微分方程的已有结果,将提供很多有益的启示。
  二、实践中的是由很多因素联合作用和相互影响的。所以其数学模型多是非线性偏微分方程组。如反应扩散方程组,流体力学方程组电磁流体力学方程组,辐射流体方程组等,在数学上称双曲-抛物方程组。
  三、数学物理方程不再只是描述物理学、力学等工程过程的数学形式。而目前在化学、生物学、医学、农业、环保领域,甚至在经济等社会科学住房领域都不断提出一些非常重要的偏微分方程。
  四、一个实际模型的数学描述,除了描述过程的方程(或方程)外,还应有定解条件(如初始条件及边值条件)。传统的描述,这些条件是线性的,逐点表示的。而现在提出的很多定解条件是非线性的,特别是非局部的。对非局部边值问题的研究是一个新的非常有意义的领域。
  五、与数学其他分支的关系。例如几何学中提出了很多重要的非线性偏微分方程,如极小曲面方程,调和映照方程,方程等等。泛函分析、拓扑学及群论等现代工具在偏微分方程的理论研究中被广泛应用,例如空间为研究线性信非线性偏微分方程提供了强有力的框架和工具。广义函数的应用使得经典的线性微分方程理论更系统完善。再就是计算机的广泛应用,计算方法的快速发展,特别是有限元广泛 的应用,使得对偏微分方程的研究得以在实践中实现和检验。
  用数学方法处理应用问题时,首先是要建立合理的数学模型,而很多情况下这种模型是偏微分方程。一个模型的建立是一个相当复杂的过程。

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