大家帮我看看这篇论文里面这个假设是什么意思？（损伤力学，来自MIT博士论文）

guojunhang

大家帮我看看这篇论文里面这个假设是什么意思？（损伤力学，来自MIT博士论文）

我从http://dspace.mit.edu/handle/1721.1/40876下载到一篇博士论文。
感觉写的还是相当的详细的，至少好多思路和观点讲的非常清晰。
读到第三章有一个假设，就看不懂了，希望各位指点一二。
大概意思是：对于某一固定的静水压力，对于每一个比例偏应力的加载，韧性损伤的过程都是自相似的。。。看不懂了。。。。

hanmumu

你怎么下载下来的
我怎么下不下来啊

zsq-w

这文章果然很牛，不愧是MIT的博士论文，我顺便上传下：
Ductile fracture modeling-theory, experimental investigation and numerical verification（By Xue Liang）
http://ishare.iask.sina.com.cn/f/24305649.html.



混沌领域有自相似这个术语，可能是破坏理论的学者都引入来分析损伤的萌生和扩展了.
我也不确定，lz在文中搜索stochastic试试。

nwcwww

zsq-w 发表于 2012-5-6 13:33
这文章果然很牛，不愧是MIT的博士论文，我顺便上传下：
Ductile fracture modeling-theory, experimental i ...

的确，这个和fractal里的自相似定义基本相同。

作为一个数学概念，相似其实在力学里也有着广泛应用，毕竟力学归根结底还是数学问题。
而这个概念和量纲分析这种重要方法又是密不可分的。

物理定律作为客观存在，其正确性不应该依赖于我们对物理量单位的主观选取。这可以说是量纲分析的出发点之一。
因此，在很多情况下人们更倾向于使用无量纲的单位来表述物理量和数学关系，量纲分析中重要的Buckingham PI Theorem就是如此。

借此我们可以定义物理现象的相似性：
假设我们用若干参量来描述一个现象，这些参量中可能有些是无量纲的（通常用PI表示），有些则有单位。
比如两个相似三角形，其无量纲参量（内角的角度）是相同的，而有量纲的边长则可能差异很大。
而当两个现象中，仅仅在有量纲的控制参量上存在差异，而无量纲的控制参量PI_1, PI_2, PI_3,...完全相同时，我们就说两者是相似的。
在力学中尤其是流体力学中，相似性是一个很重要的话题。一个著名的无量纲参量就是Reynolds number。在几何构型，雷诺数和欧拉数等无量纲参量相同的情况下，可以认为流动是相似的。这使得许多原本难以实现的实验和模拟成为可能。

至于自相似，则是其中的一种特殊情况：无论我们怎么放大缩小这个系统自身，观察到的特征总是基本类似。
举一个简单的例子，一个正方形。
假如我们把正方形以分割因子r来切分（每条边分成r份），那么得到就是m=r^2个小正方形。而每个小正方形和原有的图形自然是相近的。
在这个系统里，发生变化的是正方形边长这个有量纲量，而无量纲参量如长宽比，内角大小则是保持的。这就是一个自相似图案。

抽象一点，这可以表达为：当我们把系统以因子r来向下分割，最终得到m个与系统相似的拷贝。
对一个正方形而言，m=r^2; 对一个立方体而言，m=r^3。
可以猜到自相似关系的数学表述很简单，就是power law：
m=PI^d
这里PI是无量纲参量, d=log(m)/log(PI)称作这个系统的维数。
之前说的正方形和立方体相似维度分别是二维和三维。
又比如说雪花曲线Koch curve，维度是d=ln4/ln3, 而Cantor set则对应d=ln2/ln3。

最后回归正题，这篇文章里所说的self-similarity，指的就是符合这种power law幂次关系的现象。
后文中在定义损伤量的时候使用了如下关系：

这完全符合自相似的数学表达，而且等式右边的底数无疑是无量纲的。

最后补充下，断裂损伤里描述疲劳裂纹扩展的paris law，其自相似性也有不少人在探讨。
但是这个就复杂不少，毕竟deltaK不是无量纲的，需要一定的数学变形（比如把deltaK/E或deltaK/sigma作为参量）和其他条件（如取值m=2）。
与之相关的complete self-similarity和incomplete self-similarity的概念也很有趣。

guojunhang

谢谢楼上各位的深入讨论。待我再深入的观察，我曾一度想到放弃，看到各位这么深入的探讨，重新燃起我的兴趣。
以下是搜集到的他发表论文的列表：
1.        Xue, L., Damage accumulation and fracture initiation in uncracked ductile solids subject to triaxial loading. International Journal of Solids and Structures, 2007. 44(16): p. 5163-5181.
2.        Xue, L., Constitutive modeling of void shearing effect in ductile fracture of porous materials. Engineering Fracture Mechanics, 2008. 75(11): p. 3343-3366.
3.        Xue, L. and T. Wierzbicki, Ductile fracture initiation and propagation modeling using damage plasticity theory. Engineering Fracture Mechanics, 2008. 75(11): p. 3276-3293.
4.        Xue, L. and T. Wierzbicki, DUCTILE FRACTURE CHARACTERIZATION OF ALUMINUM ALLOY 2024-T351 USING DAMAGE PLASTICITY THEORY. International Journal of Applied Mechanics, 2009. 1: p. 267–304.
5.        Xue, L. and T. Wierzbicki, Numerical simulation of fracture mode transition in ductile plates. International Journal of Solids and Structures, 2009. 46(6): p. 1423-1435.
有喜欢这方面研究的可以参考一下。