单元刚度矩阵和质量矩阵条件数反映仿真结果的什么特性？
本帖最后由 moyu 于 2012-4-4 19:19 编辑最近在做谱单元法研究弹性波传播，首先研究了单元质量矩阵和刚度矩阵条件数随单元节点数的变化情况。仿真结果显示，采用5节点谱单元仿真结果比8、15、20节点谱单元仿真结果差，仿真结果如下：
但从单元刚度和质量矩阵条件数来说，5节点谱单元比8、15、20谱单元条件数小，仿真结果按道理应该5单元的更好一点。现在对条件数的物理意义搞不懂，有限元中刚度矩阵和质量矩阵条件数到底是什么含义？求大家指导!
（1)条件数没有明确的物理意义，只是条件数会影响方程的求解精度。Ax=b，当cond(A)太大，也就是ill-condition的时候，得到的结果精度差。
一般这一部分影响很小，条件数小一点肯定好。但也不必要越小越好。
（2）影响分析结果最重要是单元的逼近能力，也就是单元的次数和单元密度。 chentao807 发表于 2012-4-5 12:59 static/image/common/back.gif
（1)条件数没有明确的物理意义，只是条件数会影响方程的求解精度。Ax=b，当cond(A)太大，也就是ill-conditi ...
我的例子中，5阶谱单元数值仿真结果差，我想了很久，不知道是不是单元阶数低造成的？ moyu 发表于 2012-4-5 13:57 static/image/common/back.gif
我的例子中，5阶谱单元数值仿真结果差，我想了很久，不知道是不是单元阶数低造成的？ ...
这是肯定的。只是采用拉格朗日多项式的时候，高阶单元的刚度矩阵条件数过大会影响分析结果。谱元法采用正交多项式已经规避了这个问题，所以不用太去纠结矩阵条件数。
PS。随着网格的细化，矩阵条件数肯定是呈变大的趋势。 本帖最后由 moyu 于 2012-4-5 16:59 编辑
chentao807 发表于 2012-4-5 15:44 static/image/common/back.gif
这是肯定的。只是采用拉格朗日多项式的时候，高阶单元的刚度矩阵条件数过大会影响分析结果。谱元法采用正 ...
随着单元节点数或阶数增加，单元刚度矩阵条件数不断增加，为什么这个“增加”是必然的？
我计算过了单元质量矩阵和刚度矩阵条件数 随节点变化情况，如下：
最近我在想，既然条件数在增加，因为条件数增加会导致仿真结果较差，岂不是单元节点数越小越好吗？但对于谱单元来说，仿真结果却不是这样，节点数增加，但误差没增大？
本帖最后由 pasuka 于 2012-4-7 08:11 编辑
moyu 发表于 2012-4-5 16:53 static/image/common/back.gif
随着单元节点数或阶数增加，单元刚度矩阵条件数不断增加，为什么这个“增加”是必然的？
我计算过了单元质 ...
条件数增加导致结果较差是文献书籍上经过严格推导得到的结论，还是lz翻了几本数值分析的教材想当然而已？
偶认为，条件数在一定范围内的增加不会引起结果明显变差，因为数值分析手段在进步，求解AX=B的方法也比过去先进多啦 chentao807 发表于 2012-4-5 15:44 static/image/common/back.gif
这是肯定的。只是采用拉格朗日多项式的时候，高阶单元的刚度矩阵条件数过大会影响分析结果。谱元法采用正 ...
Are you sure about your claim:随着网格的细化，矩阵条件数肯定是呈变大的趋势? moyu 发表于 2012-4-5 16:53 static/image/common/back.gif
随着单元节点数或阶数增加，单元刚度矩阵条件数不断增加，为什么这个“增加”是必然的？
我计算过了单元质 ...
How did you get the mass matrix and stiffness matrix? From numerical integration? In that case, how many integration points did you use? moyu 发表于 2012-4-8 17:35 static/image/common/back.gif
对于谱元法，单元节点分布是非等距的，单元端部附近，节点距离变得越来越小，采用Lagrange插值，其“龙格 ...
What I mean by Runge phenomenon is that higher order interpolation functions have oscillations in approximating a function at the two end edges. I didn't mean that you plot the interpolation functions and then make conclusion that there is no Runge phenomenon. 本帖最后由 moyu 于 2012-4-8 17:37 编辑
tonnyw 发表于 2012-4-8 12:48 static/image/common/back.gif
Okay. Numerical integration seems fine.
For higher order Lagrange interpolation polynomial, there...
对于谱元法，单元节点分布是非等距的，单元端部附近，节点距离变得越来越小，采用Lagrange插值，其“龙格”现象并不突出，适合高阶单元分析，如下图单元形函数：
其中，“equidistant”表示等距分布节点单元，“Lobatto”表示谱单元的节点分布。
tonnyw 发表于 2012-4-7 11:53 static/image/common/back.gif
How did you get the mass matrix and stiffness matrix? From numerical integration? In that case, ho ...
我用的是Gauss型积分，积分点个数能够满足精度的。
条件数随单元节点数增加从计算结果来看是不断增加的，但没搞懂什么原因导致的？ pasuka 发表于 2012-4-7 08:10 static/image/common/back.gif
条件数增加导致结果较差是文献书籍上经过严格推导得到的结论，还是lz翻了几本数值分析的教材想当然而已？
...
这个可能是我的误解。 moyu 发表于 2012-4-7 16:51 static/image/common/back.gif
这个可能是我的误解。
胡适说：大胆设想，小心求证
btw，矩阵条件数有若干种不同的定义，最好都计算一下 moyu 发表于 2012-4-7 16:49 static/image/common/back.gif
我用的是Gauss型积分，积分点个数能够满足精度的。
条件数随单元节点数增加从计算结果来看是不断增加的， ...
Okay. Then tell me how many Gauss integration points you are using in the case of N = 20. tonnyw 发表于 2012-4-7 23:15 static/image/common/back.gif
Okay. Then tell me how many Gauss integration points you are using in the case of N = 20.
对于质量矩阵：2×20≤2×N*-1，即N*≥21
对于刚度矩阵：2×（20-1）≤2×N*-1，即N*≥20
其中，N*表示Gauss积分点个数 Okay. Numerical integration seems fine.
For higher order Lagrange interpolation polynomial, there is something tricky.
1. It doesn't guarantee the uniform convergence as the order n goes to infinity due to the oscillations at the edges of the interval, which is called Runge phenomenon.
2. Higher order Lagrange interpolation polynomial is unstable as you can see that the condition number goes higher with the increase of polynomial order.
3. You can also find that the condition number of the Vandermonde matrix is very bad too for higher order Lagrange interpolation polynomial.
页:
[1]