空间面积微元 的 物质导数 一疑问
本帖最后由 ggbbggb 于 2015-1-1 23:21 编辑附件给出了 Mase 1970， p115 页，从4.42 Nanson公式出发，推导 空间的 面积微元dS的 material time derivative （物质导数）时，4.43 式的第二个等号怎么得出？
我自己试着推了一下(从第2个式子到第3个式子），d/dt (J 偏X_j /偏x_i) dX_j =d J/dt偏X_j /偏x_idX_j+J d(偏X_j /偏x_i)/dtdX_j
上面后面一个式子，交换d和偏的顺序， J d(偏X_j /偏x_i)/dtdX_j=J [偏 （dX_j/dt）/偏x_i]=0，所以最后结果我只得到4.43右边的第一个式子。
J d(偏X_j /偏x_i)/dtdX_j 不等于 J [偏 （dX_j/dt）/偏x_i]
对下面等式取物质导数
delta_ij = 偏x_i/偏X_k * 偏X_k/ 偏x_j
得到
0 =偏v_i/ 偏x_j + 偏x_i/偏X_k * d ( 偏X_k/ 偏x_j)/dt
所以
d ( 偏X_k/ 偏x_j)/dt = -偏v_i/ 偏x_j * 偏X_k/偏x_i
由此得到（4.43）右边的第二项。
本帖最后由 ggbbggb 于 2015-1-2 11:44 编辑
tonnyw 发表于 2015-1-2 04:57
J d(偏X_j /偏x_i)/dtdX_j 不等于 J [偏 （dX_j/dt）/偏x_i]
对下面等式取物质导数
多谢耐心回复。你的推导非常好，间接把 d(偏X_j /偏x_i)/dt求出来了， 完全解决了公式4.43的推导。
但是我对下面的式子 这样 的 “直接”推导，得出0的结果（尽管我知道肯定错了），还是不知道问题在哪。
d(偏X_j /偏x_i)/dt=d/dt [(偏X_j /偏x_i)] = 偏/偏x_id/dt (X_j) =0 这最后一步中用了偏和D/Dt的顺序交换。
这样的偏微分和物质求导顺序交换，附件Mase p 113（4.22） 中也有利用。两者都是求偏导，这样的求导顺序交换也就大概相当于
偏^2 F/偏x 偏y=偏/偏x (偏F/偏y)=偏/偏y(偏F/偏x)
注：我也试过这样的直接推导(但推不出4.43），X_j=x_j - u_j =>d/dt [(偏X_j /偏x_i)]=d/dt 偏/偏x_i=d/dt = - 偏v_j/偏x_i
ggbbggb 发表于 2015-1-2 11:13
多谢耐心回复。你的推导非常好，间接把 d(偏X_j /偏x_i)/dt求出来了， 完全解决了公式4.43的推导。
但 ...
这个导数 代表 euler描述的观点。 TBE_Legend 发表于 2015-1-2 14:15
这个导数 代表 euler描述的观点。
222
本帖最后由 ggbbggb 于 2015-1-2 18:27 编辑
TBE_Legend 发表于 2015-1-2 14:25
222
多谢耐心的公式推导！
你在上面4楼也提到 X_j =X_j (x_1, x_2, x_3, t) 这个Euler 描述的motion。 但是如果你看一下 Nanson 公式 （Mase ，4.42， Mase 其实没有推导这个公式），我有一个清晰一点自己扫描的Malvern，请看附件，Malvern在推导时，没有涉及时间t， 所以 偏X_j/偏x_i =偏X_j (x_1, x_2, x_3)/偏x_i 。
而偏X_j (x_1, x_2, x_3，t)/偏x_i意义会有所不同？
本帖最后由 ggbbggb 于 2015-1-2 19:12 编辑
补：
Mase and Mase (1992 2nd edi) 和 3rd edi 推导了Nanson相关公式， 并且以实体记号推导出了空间面积微元物质导数的相关公式，相关页见附件。Mase and Mase 提到物质导数和物质梯度可以commute （见附件第一页）， 这也是Tonnyw 用了的（在分量形式中）。所以在 物质导数 和 空间梯度(spacial gradient, Euler gradient) 中commute 可能有问题？但我在3楼附件中有个物质导数和空间梯度交换的例子。可以看出X代表motion与否，偏导数交换与否 等问题，我是非常混淆了，这可能是我疑问的关键，希望继续指点！ ggbbggb 发表于 2015-1-2 18:31
补：
Mase and Mase (1992 2nd edi) 和 3rd edi 推导了Nanson相关公式， 并且以实体记号推导出了空间面积微 ...
X 可以代表 运动，是 Euler描述的运动。
不考虑全微分什么的，X，t是相互独立的，所以求导可以交换。 TBE_Legend 发表于 2015-1-2 20:40
X 可以代表 运动，是 Euler描述的运动。
不考虑全微分什么的，X，t是相互独立的，所以求导可以交换。 ...
我赞成这个。所以物质导数和物质梯度（物质梯度不涉及时间） 在顺序上可以互换。 同样空间导数和空间梯度 在顺序上也可以互换。 但是 物质导数 和 空间梯度 在求导顺序上的互换，似乎有问题。看来我是应该温习一下我生锈的高数了。 ggbbggb 发表于 2015-1-2 21:38
我赞成这个。所以物质导数和物质梯度（物质梯度不涉及时间） 在顺序上可以互换。 同样空间导数和空间梯度 ...
恩，你说的是对的。
我上面的推导有问题。正确的应该是： d()/dt = ə()/t + ə()/əx . v 可能作者的意图是： 因为是小应变公式，所以x和X区别不大，所以x换成X，所以x和t也就能互换了，所以就有他说的if..... TBE_Legend 发表于 2015-1-2 22:07
可能作者的意图是： 因为是小应变公式，所以x和X区别不大，所以x换成X，所以x和t也就能互换了，所以就有他 ...
hah,对Mase p 113，这个解释似乎可以，但弯绕的很大。 ggbbggb 发表于 2015-1-2 15:58
多谢耐心的公式推导！
你在上面4楼也提到 X_j =X_j (x_1, x_2, x_3, t) 这个Euler 描述的motion。 但是如 ...
说到变形梯度有个问题一直困扰我。 本帖最后由 ggbbggb 于 2015-1-2 22:52 编辑
TBE_Legend 发表于 2015-1-2 22:16
说到变形梯度有个问题一直困扰我。
第一个图里面，dx 的含义我们可能要说明一下，的确，根据高数，x=x（X，t） 我们有全微分dx（X，t）=偏x/偏X * dX+偏x/偏t *dt， 这个全微分的意思是当我们Given a motion x=x（X，t），当X和t 都变化时，我们有这样的全微分。 但是我们在连力中，我们的dx 不是这样的全微分，dx 是current configuration （或用时髦的词manifold）中的line element， 这个是固定了t的，这整个current configuration 都对应一个时间t， 用时髦的话来说，这个line element 是这样固定了t的ambient space/manifold 中的。所以这里的dx =x (p+dx)-x(p),这里x (p+dx)-x(p)都是对应一个时间的，这里dx和你给的全微分不是一回事。注：我时髦的说法可能不标准！
或者 用这个更好些，dx=x（X+dX，t）-x（X,t） 按Taylor展开，取线性项。
第2个图里面，都是标准的术语和描述，按照上面文字对dx的含义理解，我没觉得有任何问题。
ggbbggb 发表于 2015-1-2 22:39
第一个图里面，dx 的含义我们可能要说明一下，的确，根据高数，x=x（X，t） 我们有全微分dx（X，t）=偏x ...
恩，谢谢。流形我不懂。
taylor级数这个解释我在别的书上见过。 但这么说仍然是回避了一些关键问题：
（1） 为什么要用这样特殊的dx？
（2）在Lagrange描述时，这种特殊还可以理解。
【 保证了空间位置变化的物质性，即把，空间点和物质联系绑在了一起。】
但（a）这种特殊性对于Lagrange与Euler描述的转换有什么限制吗？
【 直觉上，正是这种特殊保证了两种描述的等价性。】
（b）从流体的观点看，即euler描述看，这种特殊性是什么含义？
【直觉上，正是这种特殊性，保证了，Euler在其测点上测到的是物质的量】
但只是直觉。 本帖最后由 TBE_Legend 于 2015-1-3 10:35 编辑
ggbbggb 发表于 2015-1-2 22:39
第一个图里面，dx 的含义我们可能要说明一下，的确，根据高数，x=x（X，t） 我们有全微分dx（X，t）=偏x ...
恩，谢谢。流形我不懂。
taylor级数这个解释我在别的书上见过。 但这么说仍然是回避了一些关键问题：
（1） 为什么要用这样特殊的dx？
（2）在Lagrange描述时，这种特殊还可以理解。
【 保证了空间位置变化的物质性，即把，空间点和物质联系绑在了一起，位移梯度可以描述物质的变形】
但（a）这种特殊性对于Lagrange与Euler描述的转换有什么限制吗？
【 直觉上，正是这种特殊保证了两种描述可以相互转换。】
（b）从流体的观点看，即euler描述看，这种特殊性是什么含义？
【直觉上，正是这种特殊性，保证了，速度梯度能够描述物质的变形】
但只是直觉。 本帖最后由 ggbbggb 于 2015-1-3 12:39 编辑
TBE_Legend 发表于 2015-1-3 10:16
恩，谢谢。流形我不懂。
taylor级数这个解释我在别的书上见过。 但这么说仍然是回避了一些关键问题：
这进一步的问题似乎有点深度，我只从一些侧面来谈一下片面的看法
1.固体中，我们有了初始的一个material body （represented by referential configuration B_0）, 我们希望知道对应t时刻的当前构型（B_t），（我相信用Geometry的观点会更好些，如B_t是spacial manifold， B_0是material manifold），而dx 是这个B_t的line element，直接和dx (微元长度的平方）相关的一个重要概念是metric tensor，用来度量这个B_t 上的distance (这个space， manifold， configuration), 这样的B_t可以通过dx的积分求出来。
2.如果你看一下我1楼附件中的dX_j ，它是B_0中的line element，所以求物质导数，它被看做不变 （从公式4.42到4.43） 。
3.流体我不熟，我只看了Mase 1970的chap.4, 里面有一点点流体的东西。让我试着谈一下dx在流体中作用。Mase的这章叫做motion and flow， （前面chap.3 叫做deformation and strain）这些词是相似词，如motion 和flow 其实是一样的意思，如果有区别，可说flow 是用velocity 描述的motion。 在流体中一个重要的概念是stream line ，
v （cross product）dx =0 是用来求stream line的，同样这里的dx 不是全微分，而可看作前面讨论的特殊的dx。
注：我对流体的理解几乎是0，上面的stream line的说法可能会有些不妥，如vx dx=0这里dx是为了求stream line这个“line” 或curve的，不一定要和B_t
的line element扯上关系。
补1： x的物质导数 速度 v= Dx/Dt= dx/dt 这里的dx 跟前面讨论的dx 似乎不一样。这里dx/dt =ə x（X，t）/ə t，这里dx=x（X，t+dt）-x（X，t）
补2： 同样看3楼附件Mase p113, Fig. 4.1, 公式4.26，这里dv也是固定了t的，所以这里的dx和前面讨论的dx 一样。这里给出了velocity （spacial) gradient的定义，进而它的对阵部分就是rate of deformation tensor Dij， 而Dij 是描述Stokesian（non-Newtonian）fluid的关键变量，如sigma_ij =f(Dij),所以这里可以侧面看出上面讨论的特殊的dx 在流体中还是有地位的 （dx->velocity gradient->Dij->Stokesian fluid)。
ggbbggb 发表于 2015-1-3 11:10
这进一步的问题似乎有点深度，我只从一些侧面来谈一下片面的看法
1.固体中，我们有了初始的一个material ...
想了一晚，我觉得这么理解是对的：
x(X,t): t 是Parameter，X是variable。
空间位置（x）是物质（X）的，但空间位置不是时间的，因为时间的空间没有意义。故 X，t 是不同的。
正如方程： y(x,a)=a x, dy = əy/əx dx 。
这是我能想出的最好解释了。 这个是分析也需要的吗？ 北欧神话 发表于 2015-1-8 22:22
这个是分析也需要的吗？
你可能要明确一下你这里 “分析”的意思。
理论分析？数学分析（微积分的进一步）？软件分析？
基本上这里谈的是连续力学kinematics的知识点 理论理解问题，可以看成是理论分析，而这里因为涉及到了深一点点的数学微积分，所以占了一点数学分析的东西，软件分析估计不怎么沾边，除非你要编自己的非线性分析软件，在给你的软件做一个理论手册时，可能要加入理论推导的东西。像TBE-Legend之前说过的，连续力学是很值得学习的（假如你从事力学沾边的东西的话），我也是初学者，希望进一步交流和提问题。
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