关于二阶微分方程组的求解
本帖最后由 raojiang 于 2009-10-28 10:23 编辑四个变量：x,y,p,q
四个方程组，如下：
其它符号均为常数。
1）m*D2x+(Cf+Cr)*Dx+(b*Cr-a*Cf)*Dy-Cf*Dp-Cr*Dq+(Kf+Kr)*x+(-a*Kf+b*Kr)*y-Kf*p-Kr*q=0,
2）I*D2y+(b*Cr-b*Cf)*Dx+(b*b*Cr+a*a*Cf)*Dy+a*Cf*Dp-b*Cr*Dq+(a*Kf-b*Kr)*x+(-a*a*Kf-b*b*Kr)*y-a*Kf*p+b*Kr*q=0,
3）mu*D2p-Cf*Dx+a*Cf*Dy+Cf*Dp-Kf*x+a*Kf*y+(Kf+Ku)*p=0,
4）mu*D2q-Cr*Dx-b*Cr*Dy+Cr*Dq-Kr*x-b*Kr*y+(Kr+Ku)*q=0;
试问该如何解呀，急问，各位大侠伸出援助之手吧，最好说得详细点，小弟MATLAB刚入门。如果直接贴答案那更是感激不尽了。谢谢～！:) 本帖最后由 TBE_Legend 于 2009-10-26 10:38 编辑
你只要解析解？ 要数值的话，把常数具体值贴出来。
D2y 的意思是 D对y的二阶导数吗？
你这是ODE还是PDE啊？ 你只要解析解？ 要数值的话，把常数具体值贴出来。
D2y 的意思是 D对y的二阶导数吗？
你这是ODE还是PDE啊？
TBE_Legend 发表于 2009-10-26 10:35 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
事实上我是用要用x,y,p,q几个数据来求优化的，这里求微分方程组是想把x,y,p,q几个值的表达示求出来，然后再用（Cf,Cr,Kf,Kr)做为变量进行优化。不知道有没有说清楚？ 你只要解析解？ 要数值的话，把常数具体值贴出来。
D2y 的意思是 D对y的二阶导数吗？
你这是ODE还是PDE啊？
TBE_Legend 发表于 2009-10-26 10:35 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
D2y 的意思是 D对y的二阶导数吗？
－－－－－－－－
是的！
你这是ODE还是PDE啊？
－－－－－－－－－
我不懂这两个是什么，呵呵! 本帖最后由 TBE_Legend 于 2009-10-26 10:49 编辑
D2y 的意思是 D对y的二阶导数吗？
－－－－－－－－
是的！
你这是ODE还是PDE啊？
－－－－－－－－－
我不懂这两个是什么，呵呵!
raojiang 发表于 2009-10-26 10:44 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
要说清楚那些是自变量，那些事应变量。
你的意思是： 自变量：x，y，p，q； 应变量：就一个D(x,y,p,q) ?
D(x,y)? D(x)? 即常微分还是偏微分方程组？
要说清楚那些是自变量，那些事应变量。
你的意思是： 自变量：x，y，p，q； 应变量：就一个D(x,y,p,q) ?
D(x,y)? D(x)? 即常微分还是偏微分方程组？
TBE_Legend 发表于 2009-10-26 10:45 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
谢谢,我似乎有点明白了。我的微分方程组里没有自变量。
那我把原意再描述一下吧。
上图中就是我的二阶微分方程组，自变量应该是yf,yr，它们是路面输入，是时间t的函数，表达式应该为yf=Asin(wt),yr=Asin(wt+θ)。
然后Z里面的四个值就是我要求出来的应变量。希望用其它的参数把这四个应变量的值表达出来，希望得到的是符号的表达示。不知道能不能求？ 你这个方程组求出解析解很困难，还是考虑数值求解吧 你这个方程组求出解析解很困难，还是考虑数值求解吧
messenger 发表于 2009-10-26 11:13 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
谢谢～
不过求数值的话，后面的工作很难做了呀，因为我要对其中Cf,Cr,Kf,Kr进行多目标优化。
如果只求数值的话，simulink应该可以解这个，不知对否？
谢谢！ 本帖最后由 TBE_Legend 于 2009-10-26 12:31 编辑
谢谢～
不过求数值的话，后面的工作很难做了呀，因为我要对其中Cf,Cr,Kf,Kr进行多目标优化。
如果只求数值的话，simulink应该可以解这个，不知对否？
谢谢！
raojiang 发表于 2009-10-26 11:22 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
数值解，解析解都行。都能做你后续的优化。数值解的话，把整个求解ode的过程做成个函数或子程序就可以了。
你的问题描述不清楚啊。
你给的方程组里面那些是函数，那些是常数？ 似乎yf（t）,yr（t）是系统的输入？这不是方程组的自变量，你的方程组的自变量似乎是时间t。
所有的应变量：yf（t）,yr（t），X（t），theta（t），Xu（t），Xr（t）。其他都是常数？ 对吗？
如果是这样的话，问题很一般，晚上我给你试试解析解。你先把所有的常数给个大概的值，方便我给你算数值解。 本帖最后由 raojiang 于 2009-10-26 14:07 编辑
数值解，解析解都行。都能做你后续的优化。数值解的话，把整个求解ode的过程做成个函数或子程序就可以了。
你的问题描述不清楚啊。
你给的方程组里面那些是函数，那些是常数？ 似乎yf（t）,yr（t）是系统的 ...
TBE_Legend 发表于 2009-10-26 12:28 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
谢谢！
自变量是时间t，方程组里的yf,yr是系统输入，是时间的关系函数。我给的yr=Asin(t)只是为了描述这个问题，现实中yf,yr比这个复杂（附件中有yf,yr随时间的变化关系）。
应变量就是矩阵Z中的四个值(x,theta,xf,xr)，最后要得到的也是这四个值的表达示，如x=f(t)。
总之：（1）自变量是时间t，但是在方程组里面没办法写成函数，只有数据。所以一开始我没有写出来。
（2）方程组里涉及到参数的值为：
m=133;I=420000000;mu=87.5;Cf=0.6;Cr=0.87;Kf=10.6;Kr=33.6;a=631;b=659;Ku=310;
本帖最后由 TBE_Legend 于 2009-10-27 02:16 编辑
谢谢！
自变量是时间t，方程组里的yf,yr是系统输入，是时间的关系函数。我给的yr=Asin(t)只是为了描述这个问题，现实中yf,yr比这个复杂（附件中有yf,yr随时间的变化关系）。
应变量就是矩阵Z中的四个值(x,theta, ...
raojiang 发表于 2009-10-26 14:01 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
yf,yr你可以通过拟合来得到函数。
解析解似乎得不到，mmtc算了几分钟，没结果，我就停了。
因为是常系数，所以数值解很容易得到，simulink也应该很容易解这种方程组的。
下面选取了一些参数，不到1s就可以得到结果。Clear["Global`*"]
m=133;
ip=420000000;
mu=87.5;
cf=0.6;
cr=0.87;
kf=10.6;
kr=33.6;
ku=310;
a=631;
b=659;
yf=Sin;
yr=Cos;
所用IC：
x == 0, theta == 0, xf == 0, xr == 0,
x‘==0,theta'==0,xf'==0,xr'==0
本帖最后由 raojiang 于 2009-10-28 10:22 编辑
yf,yr你可以通过拟合来得到函数。
解析解似乎得不到，mmtc算了几分钟，没结果，我就停了。
因为是常系数，所以数值解很容易得到，simulink也应该很容易解这种方程组的。
下面选取了一些参数，不到1s就可 ...
TBE_Legend 发表于 2009-10-27 02:13 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
非常感谢，我看了下结果图，各数值的范围还是很合理的。
不知道您是否可以将源码发给我？
ps:不知你用的是哪个软件呀？
再次感谢！
--------------------------- 12# raojiang
继续悲剧，问题不断～
在前面TBE_Legend 提到yf,yr可以通过曲线拟合得到，但具体怎么加还是很迷茫。
我的做法如下，但是很遗憾行不通。
function dydt = f(t,y,yf,yr)
dydt = [
y(2)
...(略）
-(-0.6*y(2)+378.6*y(4)+0.6*y(6)-10.6*y(1)+6688.6*y(3)+343.6*y(5)-310*yf(t))/87.5
y(8)
-(-0.87*y(2)-573.33*y(4)+0.87*y(8)-33.6*y(1)-22142.4*y(3)+343.6*y(7)-310*yr(t))/87.5
];
其中：
xi=0:0.02:20;
yf=interp1(MK(:,1),MK(:,2),xi,'linear');
yr=interp1(MK(:,1),MK(:,3),xi,'linear');
但是提示错误：
Subscript indices must either be real positive integers or logicals.
－－－－－－－－－－－
另：有个问题很迷惑：粉红色标的地方，yf,yf本来是用sin(t),cos(t)表示的，可以求出数值解，如果有曲线拟合出来的表达示它实际上只是一维数组yf=,和一sin(t)是完全不同的概念呀，连自变量都没有。试问yf该如何表达才会与sin(t)等价？
谢谢。 '试问yf该如何表达才会与sin(t)等价？'
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貌似没人回答呀，再解释一下：
yf(t)是类似白噪声的随机曲线，用一般的公式无法拟合。
所以想用yf(t)函数表达；
试问，该如何解决。
请各位大侠给点提示吧。 很明显有4个独立变量阿x,theta,x_u,x_v,
需要有两个求解器，二阶的t偏导可以考虑用newmarks solver
既然yf(t)是noise，就用随机函数代替呗，控制好幅值即可。
这是一个再普通不过的瞬态pde方程 楼主的问题怎么解决的？我也遇到一个类似问题。
在常微分方程组中含有已知的函数yf，而yf没有解析表达式，仅有yf（t）对应的一组离散数值。
比如：yf（t）=，t是在中，1/300递增。
这种微分方程组怎么求啊
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