国外论坛上见到高阶张量不变量问题
本帖最后由 refeihc 于 2010-5-8 23:50 编辑前些天在imechanica论坛看到一个外国学生提的问题（http://imechanica.org/node/6771），询问高阶张量的不变量。我大致看了后面的讨论，感觉问题挺有意思，但都没有给出理想的答案。因此，我增加了一些对称性的要求，这样问题可能会简单些。现在问题如下：
零阶张量（标量）本身就是一个不变量，二阶对称张量有三个不变量I1、I2和I3，那么四阶张量（满足Voigt对称性）最多可能有多少个不变量呢？
还有一些值得好奇的地方。
1提问的人很有可能是在关心本构关系，但是问题提得很有想象力，他究竟在干什么？
2如果四阶弹性系数张量有不变量，那这些不变量会有什么物理意义呢？ 本帖最后由 bbssbb 于 2010-5-9 04:18 编辑
想法还不太成熟，就当起个头吧。
研究不变量，首先要考虑特征方程，特征值和特征张量(或向量)。
对于四阶张量，如果特征值还是标量的话，根据特征方程的定义，它的特征张量只能是二阶张量。
所以特征方程就变成了，
c_ijkl sigma_kl = lambda sigma_ij
剩下的就是数学上如何求 lambda 和sigma了,
假设sigma是对称张量，假设c即满足小对称(minor symm.)也满足大对称(major symm.)，
上面的特征方程组就会有6个独立方程，也应该有6个不变量。
物理意义也不难理解，因为各向同性胡克定律包含了3个单向拉伸模态和3个剪切模态。
具体imechanica的人分离这六个模态想干啥咱也用不着猜。 2楼分析得好，是有6个不变量。
我觉得可以用矩阵的形式来表示特征方程，不过6维向量的形式有些讲究，主要是和剪应变对应的向量元素，既不能用张量剪应变，也不能用工程剪应变，形式确定了，不变量的公式就不难得到了。
2楼说的物理意义，对我有启发。看来原先提的“不变量的物理意义”不恰当，应该是关心“特征值的物理意义”，不过关于各向同性的模态（有趣，模态这个词是第一次用在这里）觉得不是“3个单向拉伸模态和3个剪切模态”，而应该是“1个体模态、2个偏模态和3个剪切模态”。
另外，楼上说的小对称和大对称是什么，以前没见过这样的提法，请解释一下好么！
我所知道的Voigt对称性是指四阶张量满足
C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk} 楼上说的很对，我提的只是6个独立的模态，并不是解耦的。
c_ijkl = c_jikl = c_ijlk小对称，来自应力应变张量的对称性。
c_ijkl = c_klij 大对称， 来自超弹性假设。
所以满足这两个对称跟满足voigt条件是一样的。 原来这是小对称和大对称，很形象的，谢谢bbssbb ，受教了！ 本帖最后由 caoer 于 2010-5-9 15:18 编辑
这个问题真不错，讨论也很有深度阿，我也来搀和搀和。
非线性固体力学的矩阵不变量主要是研究 right cauchy-Green deformation tensor的，是个二阶张量C，C = F^{T}F, F is deformation gradient, so the three invariants including I II III are derived from the C tensor. Therefore the stored energy functional could be derived by the I, II and III, because of invariance. Just like the gradient of a function is derived by the coordinates x, y and z.
Based on this idea, if the functional of energy is given, the elastic moduli C_ijkl or c_ijkl could be obtained by the 2nd order derivitive of the energy with invariants. Once the C_ijkl or c_ijkl is determined, the key part of the strain-stress relation is done.
I have no idea why the person care about the invariants of the c_ijkl, maybe they would introduce some functionals relevant to the c_ijkl, which however is not a easy issue. perhaps the coupling between nonlinear finite element solids and molecular dynamics is their goal. 本帖最后由 refeihc 于 2010-5-10 13:24 编辑
谢谢caoer的启发，的确固体力学的矩阵不变量主要是研究二阶变形张量的，直到现在我也没见到过有人关心4阶本构张量的不变量，这是我对这个问题感兴趣的重要原因。
另外，想请问一下caoer，能量泛函可以由三个不变量导得，前提是不是要求材料是各向同性的（我的直觉是“是”）？如果是的话，那各向异性的材料导出能量泛函，三个不变量可能就不够了，是吗？
我时常觉得，在中国目前的教育环境下，学生敢这样提问的少。这个学生（是个印度人）可能基础知识不如我们国内的许多同级别学生，但国内学生能像他这样提问题的人不多。
我们在研究金属塑性力学时，会用到不变量J2，研究混凝土的破坏行为时，要用到I1、J2甚至I3，这里总是选应力不变量或是主应力做为基本变量。这种处理方式的好处是数学上简便，但一个很大的不足，就是对于一般的各向异性（或初始是各向同性，演变成各向异性）问题后续分析比较困难。
前面bbssbb的回答说了一句有趣的话“各向同性胡克定律包含了3个单向拉伸模态和3个剪切模态”，这又是以前没见到有人提的概念（或者是我孤陋寡闻:-)），可以视着与“主应力”相类似的概念，不妨称为“主本构”。如果还进一步分析提问者的动机，我感觉他可能在建立非线性本构关系时，想尝试要采用4阶本构张量的不变量做为基本变量，或者是提出“主本构”这样的类似于主应力的概念，且不说路能不能走通，想法就有新意。 7# refeihc
塑性理论中的通常假设屈服函数f是各向同性函数(isotropic functions)，定义如下
f(\sigma) = f(Q^{T} \sigma Q),
where Q is a arbitrary proper orthogonal tensor.
根据以上方程，不难推出，各向同性屈服函数只能是主应力或应力不变量的函数。
基于此继续畅想，如果屈服面不满足上面的各向同性函数假设，也就是说屈服函数与坐标轴的旋转有关，那倒也不是不可以，就是很多时候需要更多的物理背景才能解释的明白。举个简单的例子屈服面f=\sigma_{xx}-5=0是各项异性的, 而屈服面f=\sigma_{max}-5=0就是各项同性的。 楼上说的有理，例子很能说明问题。 7# refeihc
塑性理论中的通常假设屈服函数f是各向同性函数(isotropic functions)，定义如下
f(\sigma) = f(Q^{T} \sigma Q),
where Q is a arbitrary proper orthogonal tensor.
根据以上方程，不难推 ...
bbssbb 发表于 2010-5-10 14:56 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
举个简单的例子屈服面http://forum.simwe.com/tex2img?f=\sigma_{xx}-5=0是各项异性的, 而屈服面http://forum.simwe.com/tex2img?f=\sigma_{max}-5=0就是各项同性的。
顶一下，到位，理解比较深
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