matlab 求解方程组 A*x=b 用 x=A\b 和 x=inv(A)*b 为何计算结果不同

newdiver

求解方程组 A*x=b
用 x=A\b  和 x=inv(A)*b 两种试了
为何计算结果不同

谢谢大家回复，A是n*n矩阵，b大小是1*n，用上面两种方法算出来结果相差6%。
A的特征值我也用det(A)算了结果是inf，这样算是可逆的吗
对于一个具体n*n的矩阵，怎样判断他是否可逆呢

nwcwww

1. \是左除，所以应该是x = A\b
2. 绝大多数情况下不推荐用inv().

newdiver

nwcwww 发表于 2013-9-5 03:02
1. \是左除，所以应该是x = A\b
2. 绝大多数情况下不推荐用inv().

对的，是我写错了
为什么不推荐呢

ChaChing

两者算法不同, 结果及适用处当然有些微不同
\适用范围较广些, 採最小二乘方误差, 可适用於非方矩阵, 但inv只能是方矩阵

不明白LZ所谓"为何计算结果不同"的含意!?
个人水平有限, 由LZ两种都试了, 猜测为方矩阵
但既然是方矩阵, 结果应该是相同的(算法不同造成些微不同)
希望澄清下

winner245

x=inv(A)*b 只适用于 A 为可逆方阵。但是对于 欠定 （方程个数< 未知数个数, 即A的行数 > 列数） 和超定 （方程个数 > 未知数个数, 即A的行数 < 列数）方程组，就不能使用 inv 了，但是可以用 x = A\b 求解最小二乘解。这个问题实际上 matlab help 里有详细解释。

help \

>> help \
\   Backslash or left matrix divide.
    A\B is the matrix division of A into B, which is roughly the
    same as INV(A)*B , except it is computed in a different way.
    If A is an N-by-N matrix and B is a column vector with N
    components, or a matrix with several such columns, then
    X = A\B is the solution to the equation A*X = B. A warning
    message is printed if A is badly scaled or nearly singular.
    A\EYE(SIZE(A)) produces the inverse of A.

    If A is an M-by-N matrix with M < or > N and B is a column
    vector with M components, or a matrix with several such columns,
    then X = A\B is the solution in the least squares sense to the
    under- or overdetermined system of equations A*X = B. The
    effective rank, K, of A is determined from the QR decomposition
    with pivoting. A solution X is computed which has at most K
    nonzero components per column. If K < N this will usually not
    be the same solution as PINV(A)*B.  A\EYE(SIZE(A)) produces a
    generalized inverse of A.

newdiver

winner245 发表于 2013-9-5 21:36
x=inv(A)*b 只适用于 A 为可逆方阵。但是对于 欠定 （方程个数< 未知数个数, 即A的行数 > 列数） 和超定  ...

对于一个具体n*n的矩阵，怎样判断它是可逆矩阵呢
我用det(A)算，结果是inf，应该不是奇异矩阵吧
奇异矩阵是det(A)=0

哪里说错了还请大家纠正

winner245

newdiver 发表于 2013-9-6 21:35
对于一个具体n*n的矩阵，怎样判断它是可逆矩阵呢
我用det(A)算，结果是inf，应该不是奇异矩阵吧
奇异矩阵 ...

你说得没错，奇异或非奇异矩阵首先是针对方阵而言，在方阵的前提下，如果行列式为0就为奇异矩阵，否则，为非奇异矩阵。

det(A) = Inf 说明行列式非0，所以，至少在数学上，逆矩阵是一定存在的。因为 Inf 在matlab里只是一个很大的数，是自然界一个可以量化的数值，并非真正的 无穷大。只不过，因为 Inf 的出现，matlab可能无法（或者无法精确）求出其逆矩阵，但也未必一定不能。下面我举个例子，matlab能算的情形：

1. A = diag([exp(700),exp(700)]);
   
2. det(A)
   
3. inv(A)

复制代码

ans =

   Inf


ans =

  1.0e-304 *

    0.9860         0
         0    0.9860

newdiver

winner245 发表于 2013-9-7 19:24
你说得没错，奇异或非奇异矩阵首先是针对方阵而言，在方阵的前提下，如果行列式为0就为奇异矩阵，否则，为 ...

如果是行列式值是-Inf呢，还有逆矩阵吗

winner245

newdiver 发表于 2013-9-11 19:16
如果是行列式值是-Inf呢，还有逆矩阵吗

会有啊，比如：

1. A = diag([exp(700),-exp(700)]);
   
2. det(A)
   
3. inv(A)

复制代码