谈谈客观性和张量

hillyuan

1   假设A，B为张量，在某一座标系下A(x)=B(x). 那么由张量性质可以很容易地证明在任意坐标系下A'(x')＝B'(x'). 张量方程A=B不依赖于坐标系的性质称为协变性，或理解为客观性。
    很显然如果A'(x')/＝B'(x')，那么A或B不是张量。

2。如果在某一座标系下张量的导数A,x=B，那么A',x'=B'是否成立？遗憾的是答案是·不成立·。即张量的导数不是张量！于是数学家们导入了一种是张量的张量导数，称为covariant derivative. 如果在某一座标系下张量的covariant derivative A|x=B, 那么A'|x'=B'. 这里|表示covariant derivative。
  同样张量的时间导数也不是张量，与此对应的convected derivative或 Lie derivative是张量。

3。在一般的连续体力学著述中我们往往看不到covariant derivative这个概念。因为我们往往在欧式空间中讨论连续体力学，而在欧式空间中张量的导数是张量。而在另一方面，60，70年代力学家们意识到不能直接使用应力张量的时间导数，他们的研究成果是使用客观性的概念来导入所谓客观应力速度。今天看来这些客观应力速度不过是特定坐标变换下的Lie derivative。在这些特定坐标变换下这些客观应力速度是张量。

上面我试图以一种直观的方式解释张量和客观性的关系，远远谈不上严谨。谨供参考！

ggbbggb

多谢进一步的解释，我想对这个连续力学中的principle of objectivity，争议真的很大，大家说法叫法不一致（大家对change of observer 这么基本的东西， 都有不小歧义），Noll 本人认为一个frame中superposed rigid motion 和他的2个frames 并不等价 （这个您之前和科学网上那位令人尊重的博主讨论过，好像不幸他过世了），其实这整个principle本身是不是physical law ，这是值得怀疑的，我印象中您之前的讨论中也提到这里可能有 “人为的因素不小”。 我昨天查看了Truesdell 的相关章节（section 17-19， 19A）,发现 很明显这个所谓的principle 是作为一个physcial principle 提出来的，并且原意似乎是想用于physics的，但是似乎在理论物理中没有怎么发展或认可？ 只在continuum physics （如Eringen 编的那几卷）中有提到， Truesdell 书中也提到，Zaremba 质疑Natanson 的故事， Natanson一生 就没有 admitted the justice of Zaremba’s criticism。

我现在回答您原帖 （蓝色）

1 假设A，B为张量，在某一座标系下A(x)=B(x). 那么由张量性质可以很容易地证明在任意坐标系下A'(x')＝B'(x'). 张量方程A=B不依赖于坐标系的性质称为协变性，或理解为客观性。
很显然如果A'(x')/＝B'(x')，那么A或B不是张量。

我想问你这里是在谈 什么样的客观？ 在学张量分析中，张量本身和坐标系无关，这是一个客观性，但是这个客观并不是principle of objectivity的客观 ！ 前者 的坐标系 都是在一个 frame/observer 下的， A=B<=>A_i – B_j=0 <=>A’_i – B’_j=0,这是指一个张量描述的方程和物理规律不依赖于坐标系，从而用张量的好处在于 we do not need to worry about whatever coordinate systems used to describe them。但是后者principle of objectivity ，根据Noll 本人，张量在不同的observers 下 符合那个转换规律 （利用change of observer）的， 才是 客观。 那个转换规律的意义 隐含着这样一层意思，即 符合这样规律的张量 （以u*=Qu举例来说），那么O* observe到的u*， 和 O observe到的u，essentially independent （irrespective, indifferent）of observers,言外之意在于 the only difference lies in the observer itself， which is doing rigid motion with respect to the other。


2。如果在某一座标系下张量的导数A,x=B，那么A',x'=B'是否成立？遗憾的是答案是•不成立•。即张量的导数不是张量！于是数学家们导入了一种是张量的张量导数，称为covariant derivative. 如果在某一座标系下张量的covariant derivative A|x=B, 那么A'|x'=B'. 这里|表示covariant derivative。
同样张量的时间导数也不是张量，与此对应的convected derivative或 Lie derivative是张量。

关于这，我只有一点点经验，很久之前读过Fung （1965）那个坐标转换的东西。张量对（r, theta, phi)这样的坐标求导数 ，得到的东西一般不符合坐标转换的张量定义，也即不是张量，除非在直角Cartesian 坐标系 （x,y,z）。所以引进了covariant derivative。也即在一般坐标系中， 我们在做这样一件事，居然 对一般坐标系，əT/əx  不是张量，那我们就构造这样一个东西，（əT/əx  + 某某），使得在坐标变换时，（əT’/əx’  + 某某’） 和（əT/əx  + 某某）之间有那个坐标变化 模式，从而这个新出的东西，就是张量。但是注意这里不是 张量对时间导数（而是对坐标系的坐标） ，我们连续力学中的张量，对标量时间求导，照样是张量 ，也可参考Lai 第4版 p 45 Part C        。（yuan老师是不是混淆了爱因斯坦的 那里谈的时间轴，从而认为t也是坐标系的一个轴？）。也有可能从现代数学观点，我的上述陈述不对。这是我对Christoffel connection 唯一的一点点了解。Lie derivative 我只知道Ho。。pfel这本书第二章 末尾，中三个operations 即 pull back +material （time）derivative + push forward 这样的东西产生一个Lie derivative，我只和它见过面，不知道它的深层含义，imechanica 里Amit 与Govindjee等大牌教授认为不是所有的objective stress rate 都是Lie derivative， 哪怕是对常见到的 。但是昨天翻Marsden 那本，发现这和Amit 观点不一样。

3。在一般的连续体力学著述中我们往往看不到covariant derivative这个概念。因为我们往往在欧式空间中讨论连续体力学，而在欧式空间中张量的导数是张量。而在另一方面，60，70年代力学家们意识到不能直接使用应力张量的时间导数，他们的研究成果是使用客观性的概念来导入所谓客观应力速度。今天看来这些客观应力速度不过是特定坐标变换下的Lie derivative。在这些特定坐标变换下这些客观应力速度是张量。

像我在对 item 2回复的，欧式空间 可有直角Cartesian，可以有球坐标，柱坐标，这些一般的连续力学中的这些坐标系并没有离开欧式空间。你原话中“欧式空间中张量的导数是张量 ”在我看来不对，欧式空间中Cartesian张量对坐标求偏导əT_ij/əx_k 是三阶张量，前面我说的也是针对Euclidean Christoffel  symbol 的，连续力学中涉及非Cartesian的大部分都有用covariant derivative的， 注明Christoffel  symbol 并不是张量，它只是跟我上面提到的“某某”有关；（əT/əx  + 某某）才是T的covariant derivative，是张量。Gurtin， Lai， Ho…pfel, Bonet, 都没有用非Cartesian坐标 ， 而Malvern， Erigen， Mase and Mase （3rd）， 我前面提到的Narasimhan 的principle of continuum mechanics 很多连续力学书中都提到或运用到了 这个， 就连Washizu 的变分书也用到了Christoffel  symbol。 对于 objective stress rate的客观性，不是指 张量本身（independent of coordinate systems）这层意思， 在principle of objectivity 中 谈 张量的 客观性 （如应力客观性）， 肯定首先前提是  这个应力 本身 是 张量， 然后才可以谈 应力张量 的客观性。

hillyuan

1. 在Noll, Tuesdell等提出principle of objectivity概念时，他们似乎并不知道数学家们已经解决了这一问题。在微分几何学中你甚至看不到客观性这样的表述。而且Noll, Tuesdell的principle of objectivity并不严格: 数学上的协变性要求对任意坐标转换成立，而力学家的principle of objectivity往往只某一特定形式。
* 前者 的坐标系 都是在一个 frame/observer 下的
——〉这个等价。视点不同罢了。有的研究者用主观视点，客观视点来描述其区别。

2。张量的时间导数也不是张量，这个没有错。objective stress rate 都是特殊坐标变换下的Lie derivative。

3。这里我的用词有误，应该将欧式空间改为Cartesian空间？

最后，你可以忘掉客观性这个概念，只要注意一个物理量是不是张量就够了。这样的话，你也许会少些困惑。

ggbbggb

1。在Noll, Tuesdell等提出principle of objectivity概念时，他们似乎并不知道数学家们已经解决了这一问题。在微分几何学中你甚至看不到客观性这样的表述。而且Noll, Tuesdell的principle of objectivity并不严格: 数学上的协变性要求对任意坐标转换成立，而力学家的principle of objectivity往往只某一特定形式。
* 前者 的坐标系 都是在一个 frame/observer 下的
——〉这个等价。视点不同罢了。有的研究者用主观视点，客观视点来描述其区别。

你在这里用到任意坐标来反驳 principle of objectivity， 我觉得非常合适 （尽管我并未理解数学的 aspect）， 这一点在Malvern 1969  （p382）中提到，当你用非Cartesian coordinate 来描述 这个 change of observer 时，there seems to be no unambiguous way to do this with two curvilinear coordinate systems， one attached to each frame (Malvern原话)， 所以 it is essential to use Cartesian axes。

我看了你之前在科学网的讨论，是你指出两者不等价的？见http://blog.sciencenet.cn/home.p ... 3&do=blog&id=635127
也见http://forum.simwe.com/thread-1116836-1-1.html中Tonnyw 附的Murdoch 文章，但是也看到很多人说两者等价。

2。张量的时间导数也不是张量，这个没有错。objective stress rate 都是特殊坐标变换下的Lie derivative。

我们在前面的讨论中，属于一般讨论，也即T 是个张量 （加粗的T）是时间t的函数 T（t），那么dT/dt 还是同阶的张量函数。在这个讨论中没有涉及x=x（X，t），所以有了我上面的回复。 当在描述连续力学的motion时，我们区分了x和X， 而 你指的objective stress rate 其实是material time derivative， 较好的写法实际为D sigma/Dt。更正 这后面一句话 我有错误，我是想表明，你谈的的张量的时间导数 可能是指 物质导数 ！

3。这里我的用词有误，应该将欧式空间改为Cartesian空间？

我觉得用Cartesian space 是没有问题的 （我是工程师），而且你前面的陈述讲得通，还给你个用这个词的支持 (Bonet p23 2nd ed.) 用了vectors in a three-dimensional Cartesian space. 但是数学家 可能不喜欢这个词， 他们估计要被这个Cartesian space 搞得晕头转向，他们在想 到底是在谈Coordiante chart （延伸一下Manifold 中有在所有的点上coordiante charts 组成的set 叫做atlas），还是指  欧式空间。 欧式空间 可以有 不同的basis，为什么这个space 叫Cartesian space，难道另一个basic span而成的就是另一个space。我觉得数学家这样说或质疑工程师的用词，并不过分，你觉得呢？ 但是我站在工程师角度来维护一下我们这个不大准确 但可以接受的用词。我们工程师什么时候离开过了欧式空间？ 我们说的Cartesian space就是在描述欧式空间时，我们选用了Cartesian basis {e_i}， 难道还会有第二个意思？


最后，你可以忘掉客观性这个概念，只要注意一个物理量是不是张量就够了。这样的话，你也许会少些困惑。
一个连续力学初级自学者，真会被这个东西搞晕，怎么想我都理解不了。我是觉得非常混淆了，我之前没有仔细学习之前，我就是指观察一个量是不是和刚体旋转无关，当时也没有思考过Cauchy应力是否objective，现在学了这两个frames/observers 之后，真是更加混淆了。像Ho…pfel 第5章前两节，我觉得我可以推出每一个公式 （我至少自己动手推了一大半），但是推完之后，我一点没明白其中的奥妙！唯一一个好处是，在学objective stress rate时，那些结果很natural。这是我这几天学才知道的：在非线性FEM中经常用客观应力率这个概念，是principle of objectivity的自然产物。

TBE_Legend

我认为：与时间无关的张量都是客观的，与时间相关的张量未必客观，和时间导数密切，和空间导数没啥关系，比如普通的对坐标点偏导数，在曲线曲面张量中用协变导数就好了。

ggbbggb

TBE_Legend 发表于 2015-1-13 09:21
我认为：与时间无关的张量都是客观的，与时间相关的张量未必客观，和时间导数密切，和空间导数没啥关系，比 ...

在谈principle of objectivity时，因为我们有两个frames，有时如用superposed rigid motion时，我们只用一个frame，还有通常我们谈的一个frame。

“与时间无关的张量都是客观的”可能会有些混淆， 下面有三种意思
1 指普通的一个frame，如迅速直线运动的v，恒定加速度的a，这句话肯定不对。
2还是指一个frame， 但考虑了superposed rigid motion，这时，可能指在superposed rigid motion 时，这个张量不变，根据Ho..pfel，这叫做 objective tensor （可能可以）？
3 相对于2个frames。Gurtin 把在做change of frames 时“不变”的量（他严格的定义见他的p150） 叫做invariant （以区分frame-indifferent），他的叫法和Ho..pfel不一样。

而另外， 我不知道我是否理解错，我前面提到，Ho..pfel把material description的张量都叫做objective。以速度v来说， 用(x，t）它就不是objective，而用(X，t）来描述，它就是objective。而v（x,t)=v(x(X,t), t)=v' (X,t) （这是等价描述，是在谈同一个v，所以我们根本就不能说v 是否为objective，我们要把material描述或spacial描述这个修饰词加上才可以？），所以这个confusion很明显。

TBE_Legend

这样讨论下去谈效率很低（恕我直接了当地说：我认为ggbbgg始终就没有理解客观性，太过停留在作者的字面而不用自己的直觉去想数学表达式的合理性），不知你看了本构没有，或许你看了本构时，再在回过头来看，客观性就变得很明显而重要的一件事了。

ggbbggb

TBE_Legend 发表于 2015-1-13 11:00
这样讨论下去谈效率很低（恕我直接了当地说：我认为ggbbgg始终就没有理解客观性，太过停留在作者的字面而不 ...

效率低是什么意思？

我不知道你的理解在哪里？你前面提到协变导数 我都不知道要再说什么，Malvern 对这个概念比你理解深的多！你不可以想想为什么他还那么说吗，所以我是从字面上意思和hillyuan老师的那句话match。

我没觉得这个问题在SIMWE上很好讨论过，也没觉得SIMWE可以给出很切实际的solution，我对你的这个评论感到吃惊（你的性格可能有点怪）！我并没有想要得到什么结论性的东西，如果真想要，Imechanica上肯定比这好很多或者给Suo一个private email。

我是说了我没有理解客观性 ！你指望我们之间的讨论可以解决这个Truesdell本人都解决不了的世纪话题吗？我只是把一些观点列出来，供你和其他读者参考。你的陈述当中往往都有一些含混的东西，在discussion中，我指出来有什么不妥，SIMWE上的人是appreciate别人指出来还是不希望？在讨论学术观点时， 你希望你说一句话别人用1个字回复还是希望10句话回复？

你有没看我给的附件和文章？要注意对客观应力率和对材料客观要求这个本身的争议是很大的。“理解”是怎么样的层次？ 字面意思还是深刻含义？ 我在这谈的大部分是书的字面意思，我列出了这几天看到的所有东西，看来你觉得自己的理解是一点问题都没有。看看这个吧http://imechanica.org/node/4072

hillyuan

TBE_Legend 发表于 2015-1-13 09:21
我认为：与时间无关的张量都是客观的，与时间相关的张量未必客观，和时间导数密切，和空间导数没啥关系，比 ...

这个回答真是有点......奇葩！

是不是可以这么理解? 站着不动的TBE是客观的，走起来的TBE有可能是客观的，也有可能只是一种主观存在。当然，在宇宙人来看，不管是站着的TBE还是走起来的TBE都有可能是客观的，也有可能是虚幻的。

TBE_Legend

一般无：t*(x,t) = Q(t)t(x,t)Q'(t)         vs    但总有：      t*(x) = Qt(x)Q'  

TBE_Legend

hillyuan 发表于 2015-1-13 12:38
这个回答真是有点......奇葩！

是不是可以这么理解? 站着不动的TBE是客观的，走起来的TBE有可能是客观的 ...

你把 客观存在 与 客观存在的描述的客观性 混为一谈。

  同一个物理现象，如，一个水平匀速运动的质点，我可以从不同的角度来描述它，我甚至可以跑着描述它，得到的函数是不同的数学函数，我垂直与这个质点的运动方向看时，这个这点甚至是不动的。描述同一个物理现象的多个量一般是不同的量。量都是物质的量，都是客观存在，甚至是同一个客观存在，但描述它的方法未必是客观的。

另一方面，ggbbgb甚至把把 V(X,t) v(x,t)  认为是同一个矢量，其实 v(x,t) = V(X,t) 的等号表示他们描述的是同一个物理量，使用不同的的函数、矢量、方法描述同一个物理量，g得出一个矢量无法说它是客观与否。


yuan老师提到的协变导数，我本想告诉ggbbgb这和协变导数没几毛钱关系。但g的质疑我无语： 标量或标量函数的客观性g兄你似乎还没搞清楚就要上升到质疑客观性的层次？ 我们不是要解决世纪难题，客观性甚至cauchy定理都有人怀疑，但问题是，要怀疑，你得先懂人家在说啥。终究问问题的是你。

TBE_Legend

实在不想看yuan老师继续错下去。回复1楼：


（1） 既然张量了，那协变导数是必然的了。都讨论张量的客观性了，怎么又回到协变导数和普通偏导数了？  张量的客观性要远远比一个协变导数广得多得多，甚至包括协变导数本身是否客观。
（2） 随体导数，lie导数，在物理背景下，不过是去除自身所在坐标系的变化，去除自己的“偏见：刚体转平动，甚至变形”，让自己处于一个客观的状态中，数学操作上不过是拉回来求物质时间导推出去 或 张量的物质时间导数 - 基失的变话（刚转平，变形）。谁说 A',x'=B'不成立？ 如果一个张量方程是用物质张量表示的，那么你求个物质时间导数，它依然妥妥地成立。
（3） 如果你是高壳体或界面的，协变导数很常见。

个人的奇葩理解，随便拍。

ggbbggb

TBE，

我说句实在话，你的学术观点说明你根本没有理解作者，你也根本没有理解我的观点。

大家都在这上面算有缘，你因为学术观点冲突（而且这是由于你连最基本的东西都没有理解） 而发出这样评论，再说在你发这个帖子之前，我觉得语气 都没有过分的地方， 你先说我 自始至终 根本没理解， 你又不指出 我哪里理解错了。我只是想反问你你的理解在什么地方，回过头去看看，我有没有过分？我也没觉得hillyuan用bizarre来回复你有什么不妥！你的回复没有一句话讲得通，只有你一个人知道自己的意思！


协变导数一问题，你似乎没有理解深层意思，就这样凭着自己的想象在这乱叫骂人？ 你以为自己比Malvern 还牛，Malvern 说的话，你思考过没有，你的F或别的量对坐标求偏导 都 要在Cartesian 坐标系中求导 才可以谈 “张量”客观，如果你在一般曲线坐标系中谈 偏导数，你要用协变导数 才可以有个张量形式，但是曲线坐标系中 基矢量在变，也就是说你一般对一个坐标求偏导得不到张量，那么这些标架转换要表达什么意思，你的deformation gradient等要怎么样表达，Green和Naghdi 的superposed motion （见他们的文章或Naghdi的lecture note）如果离开了Cartesian system，统统要改写！！！！结论统统要翻新！！！！你见过谁在描述change of observer 时用过曲线坐标！这里可见 Malvern 说的话难道有错误？ Hillyuan提到并关心协变导数，我觉得没有任何问题。你理解了 我给的信息吗？ 我还给定了页码。

其他一些学术上的东西，我没看出你理解了任何东西，老实说。在别的帖子中，我指出了你理解中的错误了吗 （速率 speed 这样的标量是客观的吗？你一直坚持是）。这个帖子是公开的，你不觉得自己写出这样的评论（由于自己的无知）而感到羞耻吗？

后面两句已删除。

TBE_Legend

ggbbggb 发表于 2015-1-14 10:43
TBE，

我说句实在话，你的学术观点说明你根本没有理解作者，你也根本没有理解我的观点。

速度是标量？ 你真行！

我从头到尾没说过 速度是客观的， 我一直给你抢到物质张量的客观性和空间张量的未必客观性。你真行！

相关讨论中我从没对你人身攻击，你真行。

谢谢解除好友，我也少浪费点我的时间。

ggbbggb

TBE_Legend 发表于 2015-1-14 11:15
速度是标量？ 你真行！

我从头到尾没说过 速度是客观的， 我一直给你抢到物质张量的客观性和空间张量的未 ...

谈这么多你挑个typo，算是服了！

1） 张量的分量一般与坐标系旋转相关，所以张量分量一般不客观。 标量是客观的，但张量分量不客观。

这上面的红色是哪个说的！！！speed 不是标量吗？

见 http://forum.simwe.com/thread-1119423-1-1.html 中你的2楼和17楼 中我的指正！ 自己说的话 不承认？自己都不知道自己在说什么，你让别人怎么和你沟通。 真佩服你对 数学公式合理性 的 直觉（见你7楼中 “自己的直觉去想数学表达式的合理性”），你只要直觉就行了。

ggbbggb

Hillyuan 老师和其他网友，

我发了些火，也借了这个帖子泻火，对此抱歉！ 我的原意是在SIMWE上讨论这些别人没讨论过的东西，就连imechanica都没见到进一步探讨的问题，这样的初衷别某人给玷污了。如果存在那么多意见，为什么不好好提出来，而且大家一直是作为好友在这讨论的， 如果不是xx问题，怎么要在这种语境下讨论。这种语境讨论的学术东西还有什么意思？

hillyuan

TBE_Legend 发表于 2015-1-14 09:38
你把 客观存在 与 客观存在的描述的客观性 混为一谈。

  同一个物理现象，如，一个水平匀速运动的质点， ...

本来不想回复了，看到你和ggbbggb的讨论。我也来凑个热闹，希望你们能够求同存异！

你把 客观存在 与 客观存在的描述的客观性 混为一谈。
——〉指责正确！但看看你的原话"我认为：与时间无关的张量都是客观的，与时间相关的张量未必客观，和时间导数密切......". 你在什么地方写到了"描述"两字？从下面的文字"数学操作上不过是拉回来求物质时间导推出去 或 张量的物质时间导数"可以看出也许你是有所指的，但是你不觉得你的表述有点bizarre.
   另外从前述操作可以得到李导数，它是张量。
   张量的协变导数是张量，张量的李导数是张量。张量方程A=B具有协变性。不具有协变性的方程不是张量方程。

tonnyw

连续体力学知道的不多，没有发言权，我只有观棋不语。