精确耦合波法(2)--收敛性改进：傅里叶级数展开

现实主义的土壤

      精确耦合波法（rigorous coupled wave analysis，RCWA），也称为傅里叶模态法（Fouriermodal method，FMM）。顾名思义，该算法将电磁场问题从空间域变换至空间频率域（即傅里叶域），在空间频率域中求解电磁场本征模式（即傅里叶模态）。从原理上看，RCWA/FMM方法属于模式展开法的一种，不同于有限差分本征模FD-EME在空间域内求解波导模式，RCWA法是在空间频率域内求解电磁场模式分布，该方法也可与散射矩阵法S matrix联合使用处理多层复杂结构中的电磁场传播问题。

      对于精确耦合波法的介绍分为：基本原理，收敛性改进，多层结构计算，精确高效算法等。

      今天我们来介绍第二部分--收敛性改进：傅里叶级数展开

      空间域中有限差分法的计算结果精度受到数值参数，即差分步长大小的控制；与之类似的，RCWA/FMM算法的结果精度也受到算法数值参数——空间频率数目（傅里叶级数截断位置）的影响。图1展示了使用RCWA法求解正弦光栅衍射问题的示例，并展示了计算结果（衍射效率）随空间频率数目的变化，对应算法的收敛性。

      对线性光栅TE偏振模式下的求解，RCWA计算结果展现出很高的收敛性——在取10个空间频率以上所得衍射效率已经收敛。不过，对于金属光栅的TM偏振模式，早期的RCWA算法曾面临结果难以收敛的问题，学界中对该问题进行了大量的讨论。直到L. Li等人从数学角度上提出了非连续函数的傅里叶级数展开的算法修正，实现了RCWA算法收敛性的明显提升。

图1 使用RCWA计算正弦光栅衍射特性

      RCWA算法需要对电磁场分量（E 或H ）和介电常数（∈）或磁导率（μ）做傅里叶变换，在空间频率域中写成二者卷积形式。不连续的介电常数和电磁场分布均会导致其傅里叶变换包含无穷级数，因此在数值计算中必须做截断处理。原理上，通过不断增加空间频率数目总可以得到收敛的计算结果。但增加空间频率数将导致计算量增加、计算效率降低。

      为了解决算法收敛慢的问题，学界中修正了在TM偏振模式下的傅里叶级数展开算法，问题的关键在于正确处理电磁场中各类量的连续性问题。不妨考虑结构/介质发生跃变的位置，令跃变（即介质不连续）方向为N，并设T1 和T2 为垂直于N 的两个横向矢量。由电磁场的连续性条件可知，电场E 和磁场H 的横向分量连续、其法向分量不连续，而电位移矢量D 和磁感应强度B 的法向分量连续、横向分量不连续，不妨将连续的电磁场分量定义为新的辅助矢量（以电场和电位移矢量为例）

      上述辅助矢量F 与电场E 的关系可表达为

      若令为矩阵A 的逆，则可将电位移矢量D 写成如下形式

      原始本构方程中的乘积∈E，其中包含的电场矢量仅横向分量在介质跃变位置具有连续性；而上式右侧的乘积项(∈C )F 中，辅助变量F 的三个分量经过改写总是满足连续性条件，(∈C)和F 的乘积总是属于不连续项和连续项相乘形式，因此可以使用改进的傅里叶级数展开法处理。

      仍以线性光栅为例进行说明，不妨令光栅沿着x 方向周期性延展，进而可令N =(1,0,0), T1=(0,0,1), T2=(0,1,0)。此时不难计算矩阵A 及其逆矩阵C

      将上述结论带入空间频率域中得麦克斯韦方程，可得TE模式

      相应得TM模式

      观察到，上式中介电常数∈的傅里叶级数矩阵并非直接使用傅里叶变换得到，而是先对其取倒数、做傅里叶变换后，再对其求逆后得到。这便是对RCWA算法中对傅里叶级数展开的修正，该方法可大幅提升例如TM偏振模式下算法的收敛速度。