如何得到NIntegrate[sin[1/x],{x,0,Infinity}]的正确结果？？

ysyzhb

如题，积分后总是有一些警告，说明结果不是精确值，虽然有时候相差不大。如何能得出此类函数的正确数值积分结果呢？？

ysyzhb

有没有哪位仁兄帮帮我啊？对这个问题我真是思考已久，但想不出什么好办法。
其实被积函数只是快速振荡函数的一个代表而已，我查了一下，如果在布里渊区（Brillouin zones）对函数积分，则收敛。但我只知道这么一个思想，具体操作还希望大家一起讨论！我一直在关注着！谢谢大家！！

ysyzhb

难道就没人知道吗？还是大伙都认为这个问题太简单了？

FreddyMusic

191613

ysyzhb

我要方法，能否把你的代码贴出来啊！

FreddyMusic

方法如下：

游客，本帖隐藏的内容需要积分高于 5 才可浏览，您当前积分为 0

ysyzhb

"**** 本内容积分高于 5 才可浏览 ****"

我是个新人，没有积分，能不能重新设置一下让所有人都能看啊！谢谢了！

monika

怎么看不到？看看

ysyzhb

就是啊，我也看不到

FreddyMusic

How to get score on Fortum FAQ ？
在论坛上如何获得加分常见问题 ？
http://www.simwe.com/forum/thread-249163-1-1.html

lcb

想看看附件，却看不到，太那个了。

[ 本帖最后由 lcb 于 2007-6-22 09:58 编辑 ]

mymy7

回复一下，别说我顶老贴。。。。
想学习学习结果。。。

mychinese

我也想学习啊啊 啊

ryan_xu

图只是Sin[1/x］的曲线，这个函数有确定的积分值？

mychinese

可以用Fortran算吧，看图上，被积函数在自变量很大的时候其值很小，所以是否可以将积分上限考虑为一个有限值，如【0，100000】，最后计算结果约为11.935678，库函数为：CALL DQDAG(F,A,B,ERRABS,ERRREL,IRULE,RES,ERREST)

IRULE选6

smarten

这个积分不converge,是发散的。
Integrate[Sin[1/x],{x,0,y}], 是可以精确的积分，有解析解，但是让y趋近无穷的时候，是发散的。
Fortran给的值是y＝10^5的时候的值。
我学的数学不多，可能回答有错误，因为Mathematica有的积分还是错的。
我用Maple算了一下，结果也是发散，infinity.

smarten

NIntegrate[Sin[1/x], {x, 0, 1, 10^10, \[Infinity]},
WorkingPrecision -> 20, Method -> QuasiMonteCarlo,
AccuracyGoal -> 10, MaxPoints -> 50000]

得到： 11.985628401842705080
可能还是有问题。我看了Mathematica的说明，好像最好用解析法最好。

smarten

对原方程进行转换，u = 1/x ==> Integrate[Sin[x]/x^2, {x,0,Infinity}]
可以算到， Integrate[Sin[x]/x^2, {x,1,Infinity}] 或者Integrate[Sin[1/x], {x,0,1}] 是有定积分解的，
用NIntegrate[Sin[x]/x^2, {x, 1, Infinity}, WorkingPrecision -> 50]，可以保证前29位是准确的。
但是Integrate[Sin[x]/x^2, {x,0,1}]是发散的。
Sin[x]=Sum[(-1)^(k-1) x^(2k-1)/(2k-1)!, {k,1,Infinity}]. 去除k=1的项（x/x^2=1/x） 是可以直接积分的，
Integrate[Sum[(-1)^(k - 1) x^(2 k - 3)/(2 k - 1)!, {k, 2, \[Infinity]}], {x,  0, 1}] // N
但是积分Integrate[1/x,{x,0,1}] 是发散的，所以整个积分是发散的。

Fortan给的值是在下限为1/(10^5-4)的时候的值。

如果不对，请FreddyMusic帮助。

waynebuaa

Integrate[Sin[1/x], x] 得出结果为 -CosIntegral[1/x] + x Sin[1/x]
问题转化为求-CosIntegral[1/x] + x Sin[1/x]分别在x -> 0, Direction -> -1 以及x -> +∞的极限

而 CosIntegral[1/x] 在x -> 0-时极限为0，x -> +∞时，极限为-∞
  x Sin[1/x]在x -> 0-时极限为0，x -> +∞时，极限为1
所以
NIntegrate[sin[1/x],{x,0,Infinity}] 的结果是+∞

[ 本帖最后由 waynebuaa 于 2008-5-19 10:45 编辑 ]