求助余弦曲线与圆相切问题的求解

fenglinxiaoxue

图1所示的公式中x：横坐标；y：纵坐标；delta为要求的量（要求delta大于0）；其余（R，A，almega）为定值常数。求当余弦曲线与圆相切时的delta值的数学表达式。

图2是用matlab做的仿真，红线为余弦曲线，最上边蓝色圆弧对应delta＝0，当delta逐渐增大，圆弧不断往下移动，直到和余弦相切。

看似简单的问题，就是解不出来，请各位帮忙想想办法，多谢啦。

FreddyMusic

It's very easy case for Mathematica.

Specify me your parameters ( R, A, almega), I give you the answer.





Matlab is a less powerful mathematics software than M@.

fenglinxiaoxue

thank you very much. But, I need analytic soultion.

refeihc

可以列出方程，在你给的2个方程的基础上再增加一个切线斜率相等的条件，消去$y$化成下面的2 个方程

A\omega\sin\omega x \sqrt{R^2-x^2}=x
R^2-x^2=(A\cos\omega x +R-A+\delta)^2

从中解出$x$和$\delta$，估计要用数值解法才能求出具体的值。
我是用的Latex代码表示公式，希望对你有帮助。

fenglinxiaoxue

感谢楼上的，自我感觉这个问题有解析解。
余弦曲线与圆相切的数学知识有没有可以利用的？请学数学的达人帮忙想一想吧。

FreddyMusic

我可以很负责任的告诉你，它肯定没有解析解。

有些方程看似简单，但是求解十分复杂。

数学史上这样的悬案不胜枚举。

FreddyMusic

还有，不要以为数值解就不高明了。

相反，翻翻数值计算的书籍，你就知道，数值方法都是由一大堆非常擅长 数学和解析的天才数学家发明的。

用小成本，讲方法，得到精确可靠的答案，那才是本事。而不是一味的钻牛角尖。

zsq-w

三个未知数，三个超越方程。这里问题只有那种精心设计出来的才能巧合的解出解析解的。

具体到这个问题，我认为没有解析解，数值解很好了。你还可以变动R和A看看，三者联系，说不定能拟合出一个关系式来，这样也该够用了。

fenglinxiaoxue

这是一个工程问题的数学表达。
换一种方式解释：

余弦曲线，幅值A已知，角频率olmega已知，初相位等于pi，取该余弦曲线一个周期（负半周期～正半周期）；
圆半径R已知，圆心位于y轴上，并且R大于余弦曲线最小曲率半径点的曲率半径；
现在将该圆由正无穷远处缓慢向下放置到余弦曲线上，由于R大于余弦曲线最小曲率半径，圆与余弦必然相切与两点，求两切点之间圆的弦长。

fenglinxiaoxue

感谢各位的回复！
从来没有认为数值解不高明，只是这个问题的解决不是最终的目标，只是工程问题当中的中间环节，需要通过求解得到delta与各个参量之间的定量关系。

FreddyMusic

这是一个工程问题的数学表达。
换一种方式解释：

余弦曲线，幅值A已知，角频率olmega已知，初相位等于pi，取该余弦曲线一个周期（负半周期～正半周期）；
圆半径R已知，圆心位于y轴上，并且R大于余弦曲线最小曲 ...
fenglinxiaoxue 发表于 2009-7-16 16:39

你现在列出来两个方程，但是有三个未知数，x y delta，

你要把那个相切的方程也列出来，那样才能求解。明白了？

fenglinxiaoxue

不需要求x，y，只要求：方程唯一解情况下的delta就可以了。

FreddyMusic

http://demonstrations.wolfram.com/FindingATangentLineToAParabola/

http://demonstrations.wolfram.com/TangentToACurve/

http://mathworld.wolfram.com/TangentLine.html

“不需丈人和丈母娘，只要求有老婆就可以了。”

fenglinxiaoxue

根据我给的条件，以相切点斜率相等可以列出来第三个方程，三个方程三个未知数，只是我解不出来而已，但不代表别人就解不出来。

tonnyw

14# fenglinxiaoxue
As mentioned by several guys above, it is transcendental equation. There is no analytical solution.

FreddyMusic

你把第一个公式 Cos 用泰勒级数展开然后，仅取前三项当函数式。

然后列第三个公式：将两个函数分别求导，然后相等。

这样加上第二个公式，共有三个公式，大概可以求近似解的函数式了。试试看。

feiyuzhen

感觉和曲率半径有关，
高数上的

zsq-w

感觉和曲率半径有关，
高数上的
feiyuzhen 发表于 2009-7-23 22:22

是么？
我觉得两个曲线的公共点只是：1 在公共点重合（0阶导数） 2 在公共点相切（一阶导数）

但是在公共点的曲率应该是不等的。