刚度矩阵编程时高斯积分点的确定

esccool

在平面等参单元程序设计，刚度矩阵编程时是形函数对整体坐标求导在二次积分。形函数对整体坐标的导数如何确定其对局部坐标的幂次进而确定其高斯积分点数呢？书上也没有介绍就直接取了3个高斯积分点，有没有人可以告诉一下？如果是3维的有如何呢？

caoer

three abscissas should be enough for simple problem.
usually the number of abscissa is less than 5.
Beyer (1987) gives a table of abscissas  and weights up to n=16, and Chandrasekhar (1960) up to n=8 for n even.
n        x_i        w_i
2        +/-0.57735        1.000000
3        0        0.888889
        +/-0.774597        0.555556
4        +/-0.339981        0.652145
        +/-0.861136        0.347855
5        0        0.568889
        +/-0.538469        0.478629
        +/-0.90618        0.236927

The exact abscissas are given in the table below.
n        x_i        w_i
2        +/-1/3sqrt(3)        1
3        0        8/9
        +/-1/5sqrt(15)        5/9
4        +/-1/(35)sqrt(525-70sqrt(30))        1/(36)(18+sqrt(30))
        +/-1/(35)sqrt(525+70sqrt(30))        1/(36)(18-sqrt(30))
5        0        (128)/(225)
        +/-1/(21)sqrt(245-14sqrt(70))        1/(900)(322+13sqrt(70))
        +/-1/(21)sqrt(245+14sqrt(70))        1/(900)(322-13sqrt(70))

refeihc

在平面等参单元程序设计，刚度矩阵编程时是形函数对整体坐标求导在二次积分。形函数对整体坐标的导数如何确定其对局部坐标的幂次进而确定其高斯积分点数呢？书上也没有介绍就直接取了3个高斯积分点，有没有人可以告诉一下？如果是3维的有如何呢？
esccool 发表于 2010-6-7 10:06

希望你再确认一下问题表述是否准确，问题让人读着费力。

书上真是取了3个高斯积分点吗，？

苦雨孤鸿

高斯点的选取跟插值函数完全多项式的阶数有关，你也没说到底单元形状函数的阶数，怎么让人帮你啊？

esccool

3# refeihc 不好意思！！！没表达清楚！！问题已通过别人解决了！！谢谢！

esccool

4# 苦雨孤鸿 不好意思！！！没表达清楚！！问题已通过别人解决了！！谢谢！3维刚度矩阵时取4个高斯积分节点！！

mxlzhenzhu

esccool 发表于 2010-6-14 17:22
4# 苦雨孤鸿  不好意思！！！没表达清楚！！问题已通过别人解决了！！谢谢！3维刚度矩阵时取4个高斯积分节 ...

随便一个例子
xi=[0:1:10]';f(xi)=[1,4,14,23,4,2,-5,6,23,45,55]';
权函数取1，分别求取f(x)为一维3阶的，5阶的，7阶的精度的高斯积分怎么算？

ggbbggb

mxlzhenzhu 发表于 2013-3-4 12:18
随便一个例子
xi=[0:1:10]';f(xi)=[1,4,14,23,4,2,-5,6,23,45,55]';
权函数取1，分别求取f(x)为一维3阶的 ...

高斯积分可以用来精确积分（针对n阶多项式，1维或多维），你想精确积分的话，一旦你的多项式阶数确定了，相应高斯点的最少个数也可定；

高斯积分也可以作为近似积分（针对非多项式型的），这种情况下取多少个高斯点完全是猜的，取3个试试先，如果取4个跟3个的区别很小，就认为ok了。

权对应高斯点，不同的高斯点对应的权一般是不同的（当然部分权系数可以相同），如2个高斯点的权都为1。

mxlzhenzhu

ggbbggb 发表于 2013-3-5 12:11
高斯积分可以用来精确积分（针对n阶多项式，1维或多维），你想精确积分的话，一旦你的多项式阶数确定了， ...

我的程序写好了，不过是一维的，而且通过了两个多项式函数的验证，积分常数有现成的，就是拉格朗日插值系数；可是重积分的话，不知道积分权系数该怎么选取。Richard 伯登那本《数值分析》貌似不错，不过也没有给公式。你知道么？

ggbbggb

mxlzhenzhu 发表于 2013-3-5 22:35
我的程序写好了，不过是一维的，而且通过了两个多项式函数的验证，积分常数有现成的，就是拉格朗日插值系 ...

一般的做法是按分离变量 （如果可以分的话，你可以很直观），不分也没关系。

2维情况下实际也很简单 ，见下面公式（懂2维的话 2维到3维 不值一提）

公式 就是 sigma （Wi） sigma（Wj） w（i）w（j） f（xi，yj），其中 i 从 1 到m，m取决于x的多项式最高次数，同理 j 从 1到n ,n取决于y的多项式最高次数,如果 被积函数不是多项式形式，那么 见我在上一个回帖中的叙述。

tinjin1

请问对于四节点单元，由节点的位移通过形函数插值得到高斯积分点的位移，进而得到高斯积分点的应力应变，那么对于壳单元厚度方向的积分点的位移，应力，应变是如何得到的。

dba_2006

高斯积分点其实比较容易算出来的。就是定义对应的多项式然后待定系数就能求出来

googlchina

楼主看的什么书求介绍