关于伽辽金（Galerkin）方法的困惑

ggbbggb

看到下面两个说法，是一样的吗？



说法1：有限元当中，场变量如用U（x) = Ni(x) * Ui来插值，当Wi(x)=Ni(x)， 其中W(x) 是权函数或试函数 （weight function 或 test function），用在weighted residual的积分表达式当中， Ni（x）是形函数，Ui是节点场变量值，当 Wi=Ni 时，这是伽辽金有限元方法


说法2：场变量近似用U（x) =f0+ c1*f1(x) +c2*f2(x) +c3*f3(x)+... 当Wi取 fi 时，这是Galerkin method

上面两个说法 分别在Reddy  （2006，第三版），page 60 和 page 110中出现，

说法2差不多 也在Bathe  （Finite Element Procedures， page 118）出现，fi 被称作trial function （同样个人感觉trial function 没必要是shape function）

理解不对的地方，请指正。

eggflower

两种说法一致。Ni和fi是同一个东西，都是trial/shape function。学数学的人比较喜欢用trial function，当然在ritz法和weighted residual法里面都要求这个trail function都是global function。力学的人通常用shape function，而且shape funciton都是单元上的local function。

ggbbggb

我理解中，

f0=c0=constant
f1=x
f2=x^2
...

这样组建了一个n介多项式，

或者，

f0=c0=constant
f1=x-x'
f2=(x-x')^2

x'指某个给定值，

如果式中U（x) =f0+ c1*f1(x) +c2*f2(x) +c3*f3(x)+... 的fi是形函数，那么如何理解f0,所以我理解中的此式子是U（x) = Ni(x) * Ui展开之后形成如u（x)=c0+c1x+c2x^2...的式子，不知理解对不对？

ggbbggb

我没办法扫描，我再来给一个参考，Buchana (Finite Element Analysis), p145

a posible assumed solution Tr=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+.... (5.12)

residual is R=T-Tr
S积分符号integration，S (wi*R) dV=0

The Galerkin method requires that each wi be the function multiplied by the corresponding ai of equation (5.12).这里应该指x x^2
但是后面紧结着说在有限元当中用shape function。。。。所以感觉有了个转变？

nanjinger

Bei der Galerkin-Methode sind die Wichtungsfunktionen identisch mit den Ansatzfunktionen in den Elementen

weight function=shap function

回3楼的，f0是边界条件。如果没有 F0, 有限元方程组无解。未知数多于方程个数。

tonnyw

Let us talk about a simple 1D example.
Governing equation:
-u'' = f            0<x<L
u(0) = u(L) = 0

The weak form is
L(u, v) = F(v)
where L(u, v) = (u',v')=int^L_0(u', v'), F(v) = (f, v)=int^L_0(f, v)
Let us introduce the approximation u = uh=sum^N_i U_i*phi_i, v = vh = {phi_k}(k = 1, ..,N). Namely if the test function vh is chosen to be the ones used to approximate trial function uh, we have Galerkin method.

L(uh, vh) = F(vh)   <------------Galerkin method

If the shape function phi_i is chosen to be piecewise polynomial, we have finite element method.

dutxiaoxuesheng

tonnyw 发表于 2011-4-27 13:18
Let us talk about a simple 1D example.
Governing equation:
-u'' = f            0

这和RITZ法推出的有限元格式有什么关联吗？版主

feiyang571

dutxiaoxuesheng 发表于 2013-10-31 09:12
这和RITZ法推出的有限元格式有什么关联吗？版主

里茨法是经典变分法，是通过泛函取驻值。伽辽金法是加权残量法。推导出来的有限元格式是一致的。

ggbbggb

翻阅旧帖。这是当时自学有限元，为了后面教FEM的场景。可想我当时还真有点压力。

很明显Tonnyw版主早就回复了最关键要数（我当时肯定没领会）。就是Galerkin 经典方法 和Galerkin 有限元 两者的区别。

tonnyw

ggbbggb 发表于 2014-12-20 14:43
翻阅旧帖。这是当时自学有限元，为了后面教FEM的场景。可想我当时还真有点压力。

很明显Tonnyw版主早就回 ...

Babuska和Whiteman出了本新书，里面有简单的一维和二维例子便于理解一些理论，附上他们关于Galerkin和有限元方法的描述，有兴趣的可以一读。

yaoer_361

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