微分方程求助

NEU_QL

请问，两个微分方程组怎么求解？方程如下y1''[t]-8000 Sin[100 t]-a1*y1-a3*y1'[t]-a4*y2'[t]=0;y2''[t]-b2*y2[t]+a4*y1'[t]-b4*y2'[t] == 0.方程中a1 a3 a4 b2 b4均已知。主要是方程中含有两个未知函数y1 y2.这种联立的微分方程如何求解呢？看了一些帮助但是都没有解出来。请大家帮帮忙！谢谢

NEU_QL

已经用matlab解决。

TBE_Legend

已经用matlab解决。
NEU_QL 发表于 2011-5-29 18:44

解析解？ 不可能吧？

maple 的解答：

1. 
   
2. restart; odesys := {diff(y2(t), t, t)-b2*y2(t)+a4*(diff(y1(t), t))-b4*(diff(y2(t), t)) = 0, diff(y1(t), t, t)-8000*sin(100*t)-a1*y1(t)-a3*(diff(y1(t), t))-a4*(diff(y2(t), t)) = 0}; sol1 := dsolve(odesys, {y1(t), y2(t)}, method = fourier); sol1 := dsolve(odesys, {y1(t), y2(t)}, type = series)
   

复制代码

结果很长：

NEU_QL

3# TBE_Legend 用的matlab中的ode45求的，不是解析解，数值解。

waynebuaa

3# TBE_Legend

解析解？ 不可能吧？

这个其实是一个普通的非齐次线性方程组，
用拉普拉斯变换，凭手工就可以得解。

主要是方程中含有两个未知函数y1 y2.

y1 应该就是y1[t] 吧

waynebuaa

1# NEU_QL

请问，两个微分方程组怎么求解

更正一下，一个方程组，两个方程

TBE_Legend

3# TBE_Legend

这个其实是一个普通的非齐次线性方程组，
用拉普拉斯变换，凭手工就可以得解。



y1 应该就是y1[t] 吧
waynebuaa 发表于 2011-7-14 09:34

反正maple是解不出来， 你手工试试？ :)

waynebuaa

7# TBE_Legend 从理论上分析 是很普通的非齐次方程。非齐次部分而恰好是正弦函数，所以理论上是手工可解的，当然了，如果复域的表达式的形式 太复杂就超出了手工的能力了。

waynebuaa

7# TBE_Legend
从拉普拉斯变换得知，分母有一个一元四次方程：
-a1 b2 + (-a3 b2 - a1 b4) s + (a1 - a4^2 + b2 - a3 b4) s^2 + (a3 + b4) s^3 - s^4

问题的复杂性全部是因为 要给出这个 一元四次方程的符号解。。。
接下来就不用我说了吧

waynebuaa

9# waynebuaa
充实一下9楼的说法：
初始条件和非齐次部分 (即 8000 Sin[100 t]) 对方程的本征性质 (简单的可以理解为方程的复杂程度) 不会产生影响。
也就是说，复杂性的根源 源自于 楼主没有给出参数a1 a3 a4 b2 b4 的具体值，导致了我们要面临一个一元四次方程符号解的问题，这个是公认的无简洁的显式公式的。

waynebuaa

反正maple是解不出来， 你手工试试？ :)
TBE_Legend 发表于 2011-7-14 10:17

maple和mathematica都能解出来。
但因为给出的形式太复杂，我们都不承认罢了

TBE_Legend

7# TBE_Legend
从拉普拉斯变换得知，分母有一个一元四次方程：
-a1 b2 + (-a3 b2 - a1 b4) s + (a1 - a4^2 + b2 - a3 b4) s^2 + (a3 + b4) s^3 - s^4

问题的复杂性全部是因为 要给出这个 一元四次方程的符号解 ...
waynebuaa 发表于 2011-7-14 10:38

嗯，同意。 多谢， 软件用多了就变懒了 ⊙﹏⊙b汗

waynebuaa

12# TBE_Legend :)
TBE_Legend兄客气了 ,