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[算法白皮书] 常见光学问题的有限元算法(5)--波束包络技术

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发表于 2023-11-24 10:11:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 现实主义的土壤 于 2023-11-29 16:25 编辑

      有限元是一种数值计算的方法,通过将不规则的区域离散成若干个子区域来求解,由于子区域的数目是有限的,故称之为有限元方法。在有限元被发明之前,所有的力学问题以及工程问题都只能依靠解析解来得到答案,如果结构稍微变得复杂些,计算解析解就显得力不从心,而对于很多结构,解析解甚至不存在。在早期,市政工程和航空工程方面复杂的弹性结构分析就存在这样的问题。1942年, A.Hrennikoff 以及 R.Courant 的工作给出了答案。虽然他们使用的方法略有差别,但他们都使用了同一个思想,就是将连续的区域离散成有限个子区域。Hrennikoff 的工作是将待求解区域离散成一个个的小方格子,类似地R.Courant将目标区域划分成了小三角形。而有限元这个概念的首次提出,还要再晚些。到了20世纪60年代初,它才被 Clough教授提出。经历了40年的发展,它的理论和算法都日趋完善。起初,有限元方法主要是解决力学方面的问题,例如汽缸扭转问题。到后来,随着计算机性能的飞速提升,有限元方法被应用到了越来越多的领域的仿真模拟(机械制造,土木建筑,材料加工等等)。到现在,从汽车到航天飞机,几乎所有的设计制造都已经离不开有限元的仿真计算。

      接下来我们将介绍本征模式问题、本征频率问题、散射问题、传输问题、波束包络技术等几种常见光学问题的有限元算法,今天我们为大家介绍第五种--波束包络技术

      有限元中的波束包络技术是一种在光传输问题计算中常用的有效方法。该技术基于有限元分析和波束包络理论,用于模拟光束在复杂光学系统中的传输行为。在光传输计算中,通常采用光波方程或抛物方程进行建模。然而,这些方程求解的计算量较大,尤其是在处理大规模和复杂的光学系统时。为了简化计算,波束包络技术将光束近似为传播中心波束和衍射的包络,从而减少计算量。波束包络技术的核心思想是将光束的复杂传输行为分解为基模和高阶模的传输,其中基模通常可以直接计算,而高阶模的计算可以通过在有限元网格中引入额外的模式来近似。通过这种方式,只需计算少数几个传输模式,即可获得整个光束传输的有效结果。使用有限元方法和波束包络技术,可以进行各种光学系统的传输分析,例如波导耦合、光纤传输、光器件设计等。这种方法在光传输问题中具有较高的计算效率和精度,并且适用于多尺度和多模式的光学系统。

      波束包络技术中基函数选取和常规有限元不同,而是采用多尺度基函数,即在原有多项式基础上乘上相位因子,即以作为基函数。电场E(r)展开成形式,最终得到的弱形式如下:

      其中E0为电场E的振幅部分,即。其他部分与常规有限元相同,不再赘述。

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