请教有关“对主应力的最大值或最小值求导”公式？

fengzhou85

力学初学者，对张量转换不是很熟悉，请问下面的公式推导过程和结果是怎什么的？非常感谢！

其中N是一个4阶张量，其余两个分别是二阶应力张量和该应力张量对应的主应力最大值。

zytsang

楼上的推导是对的，但是最后一步有点问题：

两个二阶张量的两点积是一个标量，但是其逆运算却不成立，如

物理含义是，只知道一个主应力的值，不能确定其二阶应力张量。容易写出两个二阶应力张量，他们的最大主应力相等，但是二三主应力不等。

zytsang

求不出来
F能表示成二阶应力张量的函数，但是二阶应力张量无法表示为其主应力最大值的函数，除非三个主应力分量和方向余弦都提供了。所以F不能表示为主应力最大值的函数，所以其导数也不存在

fengzhou85

zytsang 发表于 2012-5-4 12:53
求不出来
F能表示成二阶应力张量的函数，但是二阶应力张量无法表示为其主应力最大值的函数，除非三个主应力 ...

根据“zytsang”的理解，是不是可以这样表示：

zytsang

补充一下，谱分解的方程应该是用[p]的逆，不是[p]的转置

而且二阶张量Pii是奇异的，没有逆

fengzhou85

zytsang 发表于 2012-5-4 16:34
楼上的推导是对的，但是最后一步有点问题：

两个二阶张量的两点积是一个标量，但是其逆运算却不成立，如

感谢“zytsang”的热情解答！
1.也就是说，这个公式是求解不出来的？该问题是我在参考文献（Voyiadjis, G. Z., Taqieddin, Z. N. and Kattan, P. I. (2008). Theoretical Formulation of a Coupled Elastic-Plastic Anisotropic Damage Model for Concrete using the Strain Energy Equivalence Concept, Int. J. of Damage Mech.）中发现的，他给出的解是：

2. 那能不能通过建立

zytsang

fengzhou85 发表于 2012-5-4 17:18
感谢“zytsang”的热情解答！
1.也就是说，这个公式是求解不出来的？该问题是我在参考文献（V ...

是文中公式(63)吗？这篇文章是2009年的诶

fengzhou85

zytsang 发表于 2012-5-4 17:59
是文中公式(63)吗？这篇文章是2009年的诶

是公式（63）的。我也是对这个公式存在疑问才重新推导了一下。


或许只能比较粗糙的表示为：

zytsang

fengzhou85 发表于 2012-5-4 18:14
是公式（63）的。我也是对这个公式存在疑问才重新推导了一下。
还是那个问题，能不能通过建立

貌似可以直接用求导的方法算……

fengzhou85

zytsang 发表于 2012-5-4 18:27
貌似可以直接用求导的方法算……

1.如果是这样解释的话，那么该论文中式（50）和式63能同时成立吗？
2.求导结果应该是一个标量

fengzhou85

zytsang 发表于 2012-5-4 18:27
貌似可以直接用求导的方法算……

这个是直接可以求导得到，就如文献中式（50）所示。但是该公式（50）与公式（63）不相同的啊

zytsang

貌似式(50)和式(63)的表达形式是一样的

fengzhou85

zytsang 发表于 2012-5-4 20:58
貌似式(50)和式(63)的表达形式是一样的

不一样的，一个是有效应力，另外一个是名义应力下的。仔细看看，一个上面是有一横的。
“8#”的表示对不对？我用简单拉伸下的例子验证了一下，好像可以。

zytsang

fengzhou85 发表于 2012-5-4 20:59
不一样的，一个是有效应力，另外一个是名义应力下的。仔细看看，一个上面是有一横的。
“8#”的表示对不对 ...

矩阵[P]是由特征向量组成的矩阵，特征向量也是主应力的函数，求导的话貌似也要对[P]求导吧