Maple能解高震荡函数积分吗？

winner245

请问Maple能解下面这个高震荡函数积分吗？

1. evalf(Int(cos(log(x)/x)/x, x = 0..1));

复制代码

我试了 int、Int、evalf/Int 都没求出来。另外，Matlab数值积分函数束手无策

TBE_Legend

mma 直接给出答案。

你为什么matlab问了，这里又要问呢？是两个结合着用吗？

winner245

TBE_Legend 发表于 2013-11-6 14:59
mma 直接给出答案。

你为什么matlab问了，这里又要问呢？是两个结合着用吗？

mathematica 我知道可以求解，我想看看 maple 是否可以求解。我自己试过了，找不到 maple 求解的办法，所以，就发到专门的 maple 版块了。Matlab 的求解方法，我还在尝试中。如果有违版规，还请版主见谅

feiyuzhen

画了个图，大概十分钟

winner245

feiyuzhen 发表于 2013-11-30 13:20
画了个图，大概十分钟

看来Maple并没有用专门的方法计算震荡积分，还是使用经典的积分办法，所以时间会这么久，越接近0点，震荡性越大，所需点越多，maple计算时长就越长

windflag

对于这种高度震荡的函数，建议用软件处理前，还是先做必要的数学处理。用maple和mathematica曾经做过类似情况的问题，但涉及很少，经验有限，貌似好像mathematica的能力强些（不一定，可能跟函数默认的参数设置有关）。但是，不做相应的处理直接调用这两个软件的函数进行积分，所得到的的结果是否正确个人还不能确定（软件的结果有可能不对，这个并非是软件自身问题，因为软件的函数积分时，对所处理的函数会有一些默认的参数设置，例如取样点的密度以及精度判断等，数值积分中会出现“假收敛”现象即是一例）。但个人对此问题并无研究，故只是怀疑罢了。

推荐一本书，《数值积分方法》（Philip J.Davis, Philip Rabinowitz 著；冯振兴，伍富良译），里面有相关情况处理。

winner245

windflag 发表于 2014-1-9 02:43
对于这种高度震荡的函数，建议用软件处理前，还是先做必要的数学处理。用maple和mathematica曾经做过类似情 ...

你好，非常感谢你的建议与参与！对于以上这个高震荡积分，maple确实没法精确计算。mathematica我试过了，直接用NIntegrate函数可以精确计算。数值积分这一块，mathematica要强一些，它使用了专门针对高震荡积分的原理。

这本数值积分的书我有英文版，里面其实主要是涉及了经典的积分算法，对于高震荡积分算法描述很少。后来，我读了一些专门针对高震荡积分的数学论文，采用 Levin 算法解决了这个积分，代码我在这里给出了：http://forum.simwe.com/thread-1090647-1-1.html

feiyuzhen

winner245 发表于 2014-1-12 01:43
你好，非常感谢你的建议与参与！对于以上这个高震荡积分，maple确实没法精确计算。mathematica我试过了， ...

基于Maple的国外高手解答方案(见第一题)
补充一下，我用的是maple12，下述命令可以算

1. evalf(Int(cos(log(x)/x)/x, x = 0.1e-2 .. 1, method = _d01akc))

复制代码

如果你的版本较高，可以添加maxintervals选项同时减小积分下限来进行更高精度的计算

winner245

feiyuzhen 发表于 2014-6-22 21:20
基于Maple的国外高手解答方案(见第一题)
补充一下，我用的是maple12，下述命令可以算

通过设置一个 “比较小” 的积分下限，确实是可以计算的，但是这只是近似计算，因为无论你给多么小的积分下限，你都不知道这个下限是否足够小。因为被积函数在 0 点高度震荡，这种近似误差可能会很大。总之，在真实结果没有得到之前，任何通过设置一个 “比较小” 的积分下限的方法，都是不可靠的

feiyuzhen

如果只是尝试一次计算，那所得到的结果可靠性确实很差，
我想是通过一系列的积分下限值来进行计算，根据所得结果来判断是不是收敛，
本例中上面的命令得到的数字可以继续往下进行，直到满足需要的精度为止，
d01akc是nag提供给maple的求解震荡积分的算法，这个是maple里面最适合这类问题的命令，
我用的maple版本较老，无法添加maxintervals选项，你可以在高版本的maple里试试这种方法，
如果可以的话，欢迎贴出结果。

winner245

feiyuzhen 发表于 2014-6-23 13:12
如果只是尝试一次计算，那所得到的结果可靠性确实很差，
我想是通过一系列的积分下限值来进行计算，根据所 ...

多谢你的建议！我用 Maple 17 试了一下，Maple 17 里是通过修改 maxintervals 参数 （默认是500）来实现更高精度的计算。我分别设置了几组很大的 maxintervals  参数，同时积分下限也相应的减小了。截图所示：



当我将下限设置为1e-6，maxintervals设置为300000000时，提示：Memory allocation failed. 这应该算是达到Maple的计算极限了吧

feiyuzhen

恩，应该是maple的极限了，
如果精度不足，只能换方法了

winner245

feiyuzhen 发表于 2014-6-24 12:48
恩，应该是maple的极限了，
如果精度不足，只能换方法了

另外，请教一下版主：
为什么我将 maxintervals = 5000 改成 maxintervals = 5e3 就报错：Error, (in evalf/int) invalid optional argument maxintervals = 0.5e4
可我前面的 x = 1e-4 .. 1 的 1e-4 的写法就没问题

feiyuzhen

我猜测是参数传递的时候指定了数据类型，
如果你有其他版本的maple，可以试一试看看什么情况，
手头是低版本的，没法验证

winner245

feiyuzhen 发表于 2014-6-24 21:59
我猜测是参数传递的时候指定了数据类型，
如果你有其他版本的maple，可以试一试看看什么情况，
手头是低版 ...

没有其他版本了。。。
这似乎是Maple做得不太好的地方，Maple本身是接受这类科学计数法的，而且单独的表达式里写 5e3 和 5000 是等效的，到了这里就不行。即便maple规定了数据类型，也不至于到了这里就不允许用户使用科学计数法了吧，这显得很不方便，尤其是我需要很大的迭代参数时，我需要留意我后面到底输了几个0