几大著作关于transformation matrix 是否为tensor的争议

ggbbggb

问题来源，今天刚读到Holzapfel的1.5节（p28），看到 (1.182) e’_i=Qe_i 这里Q被叫做orthogonal tensor，所以 Q_ij=e_i dot Q dot e_j= e’_i dot Q dot e’_j=Q’_ij （两者都= e_i dot e’_j）（结论也见p28最下面的那段话）。同样把这样的transformation Q叫做tensor的还有Lai 和Bonet。这样的结论明显跟用坐标变换定义张量矛盾，因为根据坐标变换，Q’_ij (为了方便记为Q_i’j ‘)= C_i’i C_j’i Q_ij ,也就是说根据坐标变换定义，Q肯定不是张量了。即使不考虑这个坐标变换定义，争议照样存在（you can forget about all related to coordinate transformation rule mentioned here，因为在这里提的大部分著作都是用线性变换来定义张量的）。

前两天刚读了Malvern （1969，线性变换定义张量的）， 见p25页下面的footnote，也见 p26的（2.4.1）。这里明确说明这样的transformation不是tensor。
Mase （1970）有个习题上提到transformation tensor （p61，问题2.10），但是Mase and Mase （1992）又说它不是tensor。这些书都是用坐标变换定义的，so forget about Mases。
我印象中Fung 1965 也说这个不是tensor，但是我现在找不到具体位置。


对此大家有何评论 ？

TBE_Legend

其实就是一点张量，两点张量，三点张量，4点张量的 分量的 坐标转换关系。

TBE_Legend

这个好看些

ggbbggb

多谢这个解释。我以前对2点张量的理解（其实没理解）只局限于连续力学中的2个configurations（当前构型和参考构型）上。

这个Q用dyadic （e'_k 和e_k的tensor product)来表示似乎可以。但对物理意义我并不是很理解。

请先看Lai （见附件），他表示Q就是一个rigid body rotation （不考虑reflection，如 e 和 e‘都是right handed）。Q=e'_k 并矢e_k， a=a_i e_i, Qa=(e'_k 并矢e_k)a_i e_i=a_i e'_i , 所以这个tensor Q作用在矢量a上，并不是产生一个rotation的作用。哪里理解有误，请指正。

另外，http://imechanica.org/node/7131 看一下SUO 的定义 (We define a two-point tensor as a linear map that maps an element in one vector space to an element in a different vector space.) 这定义非常好理解，但是问一下对吗？ 还有哪些数学书讲到这个概念？

TBE_Legend

ggbbggb 发表于 2014-11-26 16:00
多谢这个解释。我以前对2点张量的理解（其实没理解）只局限于连续力学中的2个configurations（当前构型和参 ...

Q：把 ei 转到（线性变换、linear map） e'i

正如

F： 把 X 变形（线性变换、linear map）到 x

我对两点张量的理解也是自己琢磨，也就知道这么些了，yuan老师应该懂得多，你问问他吧。

TBE_Legend

书的话，我看过不多，记得黄克智的非线性连续介质力学中有讲两点张量，有较多篇幅，不过这书我读了不到20页吧，就放弃读别的了，其他的书我暂时想不起来了。

hillyuan

ggbbggb 发表于 2014-11-26 16:00
多谢这个解释。我以前对2点张量的理解（其实没理解）只局限于连续力学中的2个configurations（当前构型和参 ...

2点张量涉及的就是两个点，相对于SUO 的定义，你的理解要正确得多。另外记住2点张量不同于普通的张量，两阶的2点张量德变换类似于矢量变换，知道这些应该基本上就够了

ggbbggb

TBE_Legend 发表于 2014-11-26 18:30
Q：把 ei 转到（线性变换、linear map） e'i

正如

但是 X和x 我们可以用同一个坐标系，即e坐标系，尽管在写deformation gradient时我们用 E 和 e 来并矢。

ggbbggb

hillyuan 发表于 2014-11-26 19:03
2点张量涉及的就是两个点，相对于SUO 的定义，你的理解要正确得多。另外记住2点张量不同于普通的张量，两 ...

多谢hillyuan老师指点！其实我也没理解，反正感觉有时SUO在用物理思考数学。

这些书像Lai， Bonet ，Holzpafel 直接拿Q （特别是Lai）当一个真rotation tensor， 你可以看Holzpafel 和Lai相关页的2个坐标系，很明显，把{e} 旋转一个角度就得到{e‘}， 所以在Lai 看来，他确实是把Q当成一个正常的second-order 来处理的（参考他的example 2.7.3）。在这样一个特殊情况下，我可以完全理解Lai的思路，two-point tensor 完全可以不介入。但是这是坐标转换的特殊情况（讨论还是直角Cartesian），一般情况下，2个直角Cartesian 的 basis {e}和{e’} 都可以存在这样一个真rotation tensor（真rotation tensor 可以转为w x 这个形式），我是持怀疑态度的。可以举个例子，如 x， y， z 轴 分别变为 z‘，x’，y‘， 可以写出对应的{e1，e2，e3}对应e’3，e‘1和e’2。这种情况下恐怕找不到这样一个真rotation tensor R。

我没有任何高深的数学基础和力学背景，欢迎继续批评指正 ！

hillyuan

ggbbggb 发表于 2014-11-26 19:44
但是 X和x 我们可以用同一个坐标系，即e坐标系，尽管在写deformation gradient时我们用 E 和 e 来并矢。 ...

我想5楼的解释正确。不理解你为什么提及坐标系，任何张量计算概念都跟坐标系无关。

ggbbggb

hillyuan 发表于 2014-11-26 20:11
我想5楼的解释正确。不理解你为什么提及坐标系，任何张量计算概念都跟坐标系无关。 ...

我上面指Cartesian 坐标系的基矢量 新坐标系 e'_i  和 旧坐标系 e_i, x 的基矢量是 e_1等, 没有涉及到坐标分量等东西。

5 楼 e‘_i=Q e_i, 当中Q是一个线性变换 是个2阶张量，这个2阶张量是 2点张量 还是一般张量？我说面一段想表明，如果像Lai书那样，把基矢量组{e}做个刚体旋转得到{e’}， 那么Q是真的rotation tensor （无需考虑2-point tensor）。我后面给的那个例子，假如 e1，e2，e3 分别变成 e‘3，e’1，e‘2 这种情况下 就不是 e’_i=Qe_i 了，所以Lai 等给的基矢量变换的只是特殊情况（在这情况下存在这样一个rotation tensor）。 你看Lai的那段文字，我不觉得他意指2点张量。

再看 Malvern （p26）， 他用e'_r=Asre_s 这样一种表示 就比Lai的基矢量变化 广的多 （包括了我上面给的情况）。所以这个意义来说， Malvern 和Lai等的transformation matrix 不是等同的概念，像上段给的例子 （e1，e2，e3 分别变成 e‘3，e’1，e‘2 ），一般情况下是不存在rotation tensor的，所以对这更一般的描述中 Malvern 并没有把这样的transformation当成张量？

TBE_Legend

e1' = -e2
e2' = e3
e3' = e1

{e1',e2',e3'} = M {e1,e2,e3}

你总可以构造处矩阵， ei' = M ei

因为 ei' 构成一个向量，ei也是一个向量， M是从一个向量到另一个向量的线性映射，所以 M ={ {0,-1,0}，{0,0,1}，{1,0，0}}  是一个张量。

不只是旋转，还可以定义拉伸。

方正未必是二阶张量，但如果方正作用和产生的是矢量，那么方正就是2阶张量。

ggbbggb

TBE_Legend 发表于 2014-11-27 09:57
e1' = -e2
e2' = e3
e3' = e1

非常感谢！

为了更好回复，我写了个pdf，逐条回复。但是基本意思是{e1,e2,e3}不是矢量。附件中第一条我回复错误，你是right-handed 到right-handed。

另外，我想更正我在楼和4楼中的错误，e‘i=Qei 中的Qij 符合2阶张量坐标转换的定义，所以从坐标转换定义Q也是张量 （但是初一看还真不像张量）。
第二，我4楼中指出， Q=e'_k 并矢e_k=e'_1 并矢e_1+e'_2 并矢e_2+e'_3 并矢e_3 没有把a=a_i e_i, 刚体转转到e’中，这是一个失误，其实4楼中的Qa=(e'_k 并矢e_k)a_i e_i=a_i e'_i  正是rotation的action。

hillyuan

ggbbggb 发表于 2014-11-26 21:01
我上面指Cartesian 坐标系的基矢量 新坐标系 e'_i  和 旧坐标系 e_i, x 的基矢量是 e_1等, 没有涉及到坐 ...

瞅了瞅Lai，他那个不是2点张量。他那个只是同一矢量在不同坐标系下的变换矩阵。

请注意2点张量必须涉及两个点，标记中该张量的两个上，下标分别表示两个点。当一个点的坐标系改变而另一个不变时，该张量的变换公式与矢量变换相似。但如两个点的坐标系都做同一改变时，该张量的变换公式与普通张量变换公式相同
普通张量不可能分别改变两个上，下标的坐标系，因为它们只对应于一个点。这就是区别。

ggbbggb

hillyuan 发表于 2014-11-27 11:52
瞅了瞅Lai，他那个不是2点张量。他那个只是同一矢量在不同坐标系下的变换矩阵。

请注意2点张量必须涉及 ...

多谢回复确认和2点张量的知识，我也可以断定Lai （Bonet，Hoz-）这几本中的Q不是2点张量。

hillyuan

ggbbggb 发表于 2014-11-27 11:14
非常感谢！

为了更好回复，我写了个pdf，逐条回复。但是基本意思是{e1,e2,e3}不是矢量。附件中第一条我 ...

钻牛角尖了，你可以把{e1,e2,e3}看成{1，1，1}的矢量

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hillyuan 发表于 2014-11-27 11:58
钻牛角尖了，你可以把{e1,e2,e3}看成{1，1，1}的矢量

这肯定不是作者的意图， {1,1,1}是point，在矩阵或线性代数中可能可以叫position vector，当成矩阵向量是可以的。如果把{1,1,1}认为是我们讨论中的vector， 那么它代表的是e1+e2+e3

补充一下，看到你给12楼给了个Right ！ 因为我们在vector space的框架下讨论linear operator， 我们已经假定这个vector space 的bais 是{e1，e2，e3}，这意同这个vector space 是由spanned by e1，e2，e3， 也即在这个vector space中任意一个vector 可以表示为 e1，e2，e3的线性组合， 但是{e1，e2，e3}不能表示为这样的线性组合，所以{e1，e2，e3}不是 由e1，e2，e3 span而成的vector space 中的vector。

TBE_Legend

第二个是我错了。 {x1',x2',x3'} = M {x1,x2,x3}。其它的应该没问题。 存在把0矢量变为非零矢量的矩阵？

问题是： 讨论来讨论去，我都不知道咱们在讨论啥了。

我的观点，
（1）  坐标系的转动【空间张量坐标转换的需要】，任何转动（纯转动）都可以用张量表示，而且是一个两点张量。
（2）  其他的如，对称啥的，未必都能用张量表示，可以用线性变换即矩阵表示。

我认为，无论转动，对称啥的，都不重要，重要的是，一些张量在这些坐标系中的关系，无论这些关系是是转动张量还是线性变换起中介作用, 只要会推导这些关系就好了。

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TBE_Legend 发表于 2014-11-27 13:38
第二个是我错了。 {x1',x2',x3'} = M {x1,x2,x3}。其它的应该没问题。 存在把0矢量变为非零矢量的矩阵？

...

你最后那个方阵问题，可能是你对的（你可能还隐含一些意思），我当时只想到 tensor 的 operation，但是我怎么知道一个方阵在{e}和在{e‘}中的关系（我假定你在谈一个3x3是否为一个tensor的{e}下的componet），你的这说法等同于说任何3x3矩阵都是一个张量。

当 看到你 对你上面的说法 argue 第二点 {x1',x2',x3'} = M {x1,x2,x3}，我已经知道我们完全不在谈一个东西。
Do you buy any of the following?

1. Qije_i e_j =Qije‘_i e’_j ， 源于Holzapfel p28最下面那句话
2.Q在{e}和{e‘}中的分量 符合 你第一个附件中给的类似的坐标分量转换，由1 较容易得出，也源于我们都知道张量分量符合这个关系式。
3. Q这里确实不是two-point tensor， 你看 Holzapfel（p28，p29），如果这是two-point tensor， 难道他不应该refer to 他的p71的定义。而且 从 1.和2.来看这里的Q和普通张量没有任何区别。

11楼是我对我1楼问题的总结，问题主要来源是Malvern 不把这样一个类似的Q叫tensor，而Malvern的那个转换矩阵是比Lai等更广泛的。

所以在此问题上，hillyuan老师似乎和你持同样观点，但是可能你们都没明白我的真正意思 （我说汉语，敲汉语 都不好，见谅！）。

补充一点，Holzapfel第一章中，你可以到处看到basis vector 这个说法，其实我认为Malvern 的用词 base vector 更合适，basis 指{e_i}, 而base 是e_i,当然从context上可以知道 Holzapfel的basis vector 实为e_i，如果还见到哪本经典用basis vector 来指 e_i，请告之.

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TBE_Legend 发表于 2014-11-27 13:38
第二个是我错了。 {x1',x2',x3'} = M {x1,x2,x3}。其它的应该没问题。 存在把0矢量变为非零矢量的矩阵？

...

在回复你下面的，
“（1）  坐标系的转动【空间张量坐标转换的需要】，任何转动（纯转动）都可以用张量表示，而且是一个两点张量。”

请看附件Lai， 这个R就是普通张量 ！而且前面讨论的那个Q就是这样的rotation tensor。