伽辽金法的权函数不能保证微分方程在每个点为零，怎么保证准确的

柱子622

伽辽金法的权函数不能保证微分方程在每个点为零，怎么保证准确的

ggbbggb

当你选用人为的w （而非任意时），你要理解 这就是一种近似。

你也可能碰巧得到准确解， it is only by accident NOT by intention.。

tigerzjie

由收敛性保证。当插值表示的域划分越来越小，取极限，将得到精确解。插值区域取有限大小时，得到近似解。理论上划分越小结果越精确，但计算量越大。

ggbbggb

tigerzjie 发表于 2015-1-12 21:36
由收敛性保证。当插值表示的域划分越来越小，取极限，将得到精确解。插值区域取有限大小时，得到近似解。理 ...

很多人 经常用 单元分的越小，越精确，极限时 得到精确解。以FEM来说，FEM是解方程的，而方程本身有没有解？你可能要小心。但是FEM始终给你个solution 不管你的原方程有解以否，你如果想要准确的陈述，应该考虑我说的这些话。

tigerzjie

ggbbggb 发表于 2015-1-12 21:44
很多人 经常用 单元分的越小，越精确，极限时 得到精确解。以FEM来说，FEM是解方程的，而方程本身有没有 ...

谢谢提醒。微分方程有没有解，确实是原方程决定的。FEM只是数值求解方法，用来获得一个数值上的近似解，其也不是所有微分方程都能解。对于这个解的准确性，我理解可以从等价性上阐述，1是微分方程与积分方程等价性，如果对于任意的W，FEM都得到相同的数值解，则认为得到精确解。此时跟插值域（或者单元）的大小没有关系，因为任意的W成立是微分方程向积分方法变换的充要条件，二者等价。但此时这种求解没有用处，无法遍历无穷的W。2是用一个特殊的W以及其满足附加的条件，免去遍历所有的W族。此时附加的条件对于连续介质力学问题是至少有W近似插值表示的场能表示刚体位移（函数本身）和常应变（函数一阶微分），当单元划分取极限时仍跟精确解有等价性（微分方程本身表示的就是微元极限上<一点>的关系）。表述不严格，但不失为一种理解。另外FEM解收敛性已得到数学上的证明。

ggbbggb

tigerzjie 发表于 2015-1-13 00:06
谢谢提醒。微分方程有没有解，确实是原方程决定的。FEM只是数值求解方法，用来获得一个数值上的近似解，其 ...

先纠正一点: 我原叙述中 说 FEM总能给出解，未包括有时解发散而不出解的情况，取决于软件，这时FEM是否会报告error(这是个特殊的solution） ，所以取决于如何看，原话在这点上可能有些不妥。

这里1楼用Galkerkin方法解方程，所以没有限制方程的类型。你说的 “FEM解收敛性已得到数学上的证明” 也是有条件or 无条件的？

参考
http://forum.simwe.com/thread-1114526-1-1.html

tigerzjie

ggbbggb 发表于 2015-1-13 01:01
先纠正一点: 我原叙述中 说 FEM总能给出解，未包括有时解发散而不出解的情况，取决于软件，这时FEM是否会 ...

谢谢给出的链接，有时间再深入拜读。
关于我前面的回复可能犯了错误表示抱歉。1 关于1楼问的伽辽金法的问题，不一定说的就是FEM，我将问题与FEM混淆了（虽然有相同或相似的部分）； 2 关于FEM本身收敛性，我表述和考虑不严谨（从您给的链接初步看）；3 关于FEM收敛性证明，我知道的是有这个结论（弹性力学中一般要求完备性、协调性条件，但不限于此），证明过程没有深究过； 4 如果您不确认是否已有证明，请检索相关文献，如“有限元法的收敛性条件及误差公式”，包括但不限于此； 5 如果您确已知道有证明及相应的限制条件，请直接给出。 6 我理解仍不够深刻，目前不考虑继续参与这个讨论。

ggbbggb

tigerzjie 发表于 2015-1-13 11:16
谢谢给出的链接，有时间再深入拜读。
关于我前面的回复可能犯了错误表示抱歉。1 关于1楼问的伽辽金法的问 ...

从你3楼的第一句话，这个statement我觉得过强，因为字面意思是 “肯定收敛”。

并没有指出你从这方面来叙述有什么不妥！对弹性力学小变形这样的收敛到精确解这个问题，我们已经在所给的链接中讨论了。

柱子622

受教了，谢谢大家