橡胶衬套随频率变化的刚度和阻尼特性分析

CAE大拿

橡胶等弹性体材料由于其特殊的刚度和阻尼特性已广泛应用于经受动态激励的产品中。在现代汽车设计中，研发设计人员往往会采用一些橡胶-钢结构作为弹性连接，例如发动机悬置、悬架系统中的橡胶衬套等弹性连接件。这些弹性连接件不仅可以起到减振降噪、提高乘员的乘坐舒适性的作用，对汽车行驶的平顺性、操纵稳定性、制动性等各方面性能也有着重要的影响。因此，为了更好的研究和了解部件、子总成乃至对整车系统的动态特性的影响，确定在特定的工作频率范围内橡胶减振结构的阻尼特性和密封行为是非常重要的。除此以外，桥梁、建筑结构中的橡胶减振结构在地震研究中的阻尼特性也越来越引发人们的关注。

为了精确模拟该行为，Marc在2013版本增加了采用粘弹性材料特性进行频响分析的功能，设计人员可通过频响分析中的粘弹性材料特性来计算与频率有关的刚度和阻尼特性，获得橡胶等弹性连接结构随频率变化的刚度和阻尼曲线。该模型支持Marc中已有的线弹性和超弹性材料模型，还可设定这些材料的热流变(TRS)特性，以及包括随频率变化的储能模量和损耗模量。在最新发布的Marc 2013.1版本中，上述与频率相关的材料模型进一步扩展了正交各向异性材料的定义，热流变粘弹性材料的shift function还可表示为Arrhenius函数。

下面以Marc2013用户手册（3.40）中提供的某橡胶衬套的频响分析模型为例，通过橡胶衬套在预载荷作用下的频响分析，介绍如何在Marc中考查橡胶衬套等弹性体减振部件的刚度和阻尼随频率变化的特性。

某橡胶衬套的截面图和有限元模型

在上图所示的模型中可以看到，中心填充有橡胶材料（rubber）的钢结构部件（steel）套装（粘接接触）在空心轴（shaft）上。为简化结构，空心轴右端面的中心处指定了10Kg的集中质量用来代替与空心轴连接的剩余结构，该点通过rbe3多点约束连接到轴端的内表面节点上。具体如下图所示：

空心轴右端面中心处的集中质量和rbe3多点约束

橡胶材料的（近似）体积不可压缩性采用Neo-Hookean应变能函数描述，材料常数C10取1.5MPa，体积弹性模量近似为15000MPa（由Marc自动计算出来）。橡胶材料在时域内的粘弹性特性，采用Prony级数描述，通过下列松弛函数（以正则化形式给出）描述：

这里考察瞬时（短时）特性，即g(t=0)=1，而不考察材料刚度在静平衡状态（即长时）的特性。本例所采用材料的长时刚度为瞬时刚度的2/3，即。由此可以得出能量函数乘子为1/3，相关联的松弛时间为0.0032秒
在频域内由上述松弛函数可得到与频率相关的储能因子和损耗因子。如下式所示：

储能因子决定了材料随频率变化的刚度特性，损耗因子决定了材料随频率变化的阻尼特性。本模型采用的材料储能和损耗曲线（正则化）如下图所示：

随频率变化的储能和损耗曲线

橡胶材料的密度为1000Kg/m3，钢结构的材料参数分别为：弹性模量200GPa，泊松比0.3，密度7800 Kg/m3。

橡胶材料定义菜单

整个分析包括了两个分析工况：首先模拟钢结构外表面完全固定（fix_xyz），空心轴的右端面中心处指定10KN的轴向集中载荷(static_point_load)，计算静载下的结构变形；其次在上述预载荷的作用下，考察在0-100Hz范围内，空心轴的右端面中心处受到1KN轴向载荷(harmonic_point_load)时的频响分析，计算结构随频率变化的刚度和阻尼特性。

边界约束和载荷（静力学工况和频响分析工况）

在静力学分析工况中采用固定步长加载，采用10个增量步，每步施加1KN的载荷。在频响分析工况中考查0-100Hz频率段，间隔2Hz，共51个频响子增量步。在分析任务中采用大应变选项，同时激活复杂阻尼在频响分析中的影响选项（complex damping）。

静力学和频响分析工况设置

根据上述设置，提交Marc计算后得到衬套在10KN轴向载荷下的变形图以及在频响分析中，1KN激励下激励点处沿着轴向的位移幅值和相位随频率变化的曲线。

衬套在10KN轴向载荷下的变形前（左）、后（右）结果图（比例1:1）

1KN激励下激励点处沿着轴向的位移幅值和相位随频率变化的曲线

从上述结果结果中可以发现，结构的共振频率点发生在60Hz左右。位移幅值最大值在2.8mm左右。

进一步考察结构的阻尼随频率的变化，绘制总体耗散功率（total dissipated power）在0-100Hz的变化曲线，如下图（左）所示，在60Hz时的耗散功率最大，约为524W，耗散功率密度分布云图如下图（右）所示，同样在60Hz时的橡胶的能量耗散率是最高的，在内、外钢结构处由于没有考虑阻尼的影响，因此能量耗散率为0。
                       
总体耗散功率随频率变化曲线               

耗散功率密度分布云图

通过上述功能，用户可以在Marc 2013中方便的进行橡胶等弹性体连接结构的动态特性模拟，考率结构的刚度与阻尼与频率所呈现的非线性关系，获取橡胶减振结构的刚度和阻尼随频率变化的特性曲线。

备注：
考虑到本例中衬套的整体结构尺寸，上述能量的耗散会导致一定量的生热，如果振动的持续时间较长，那么上述结构的设计是存在一定的问题的。另外，由于本例中选择了Neo-Hookean模型，在10KN时的最大位移为7.8mm左右，通过绘制衬套的力-位移特性曲线不难发现，超出这个变形范围后曲线几乎是保持线性变化。而且可以观察到加载后衬套上的剪切变形。Neo-Hookean模型存在剪切应力和剪切应变的线性关系。因此，如果选择更为复杂的模型，例如多项Mooney模型或Ogden模型，将会得到剪切应力和剪切应变呈非线性变化的特点。