第八章-声波的反射与吸收-1

CAE大拿

第二篇：线性声学基本现象

第八章：声波的反射与吸收

他说的最后一句话沿着右侧一排桌子的方向径直抵达到了女主人的柜台，并从那里携带着新的能量被反射回来，这次是沿着左侧的桌子。这声音，在还没有达到大门前就已经消失不见了。

-         法国作家  马歇尔·埃梅 (1902 –1967) 《焚林》

在这一章中将介绍声波反射和声波吸收的物理现象。此章还将涉及到建筑物室内声学的理论。

8.1法向入射声波的反射

8.1.1  固壁边界条件 （速度边界 v =  0）

时域分析

第四章中的公式4.26表示在不存在声源的条件下，声压的梯度与流体粒子振动的加速度成正比。对于固壁条件，边界上的加速度必然为零，因此声压的梯度也为零。在这种条件下，声压的表达式为声压的一般一维解的特殊形式。声压的一般解为：

固壁的边界条件为：

我们知道，对称函数的导数为反对称函数。因此，如果我们把p-取为p+对于x0位置的对称函数，那么（p++ p-）整体的导数在x=x0取值则为零。根据这点，一维波动方程在固壁条件存在于x=x0位置时的一般解即为下式，其中（  pi = p+ = p-）：

若x0 = 0，上式则简化为：

图8.1显示了一个声学扰动传播到固壁面并被反射的过程。对应于公式8.3，这里声压的解可以被分析成两个对于x = x0位置对称的波形，其中一个由左向右，另一个由右向左传播叠加的结果。当声波触及到固壁表面时，其现象犹如一个入射波进入到壁面之内，而与它对称的镜像波在同一时刻从壁面内被发出。

图8. 1：上图为固壁对波的反射；下图显示出固壁起到镜面的作用，它在入射波的基础上叠加了一个对称的反射波

频域分析

考虑入射波沿着x轴由左向右传播，在其传播方向位于x = 0位置存在固壁面（图8.2）。声压的一维一般解的形式为：

速度解为：

由于在x = 0位置速度必然为0，我们可得到：

进而得到声压的解：

公式8.8确实是公式8.4傅里叶变换的结果。而速度解的最终形式也可以被写成下式：

声阻抗（声压与速度的比值）为：

图8. 2: 固壁面对法向入射波的反射

这种情况下声阻抗的数值仅包含虚数项，这是由于声压与速度存在90度的相位差。有功声强（active intensity）为0，这是由于由左向右传播声波的声强与反向对称传播声波的声强相等：两列波叠加后产生了驻波。在固壁表面的声压是入射声波声压幅值的两倍：

声波的吸收，材料厚度以及波长的关系

在大多数吸声材料中，能量的耗散与声学速度成正比。从公式8.9我们可以推导出，在距离固壁四分之一波长处（x = λ/4），速度取最大值。由此我们可以得到如下一些直观推断：

1， 在某特定频率，吸音材料的厚度在超过1/4波长时其吸音效果开始表现明显

2， 材料的吸音效果与频率相关，例如1厘米厚的材料在8kHz开始表现明显的效果

3， 若将一个吸音材料薄层至于距离壁面四分之一波长位置处，其吸音效果会比将其直接至于壁面上好

8.1.2  自由面边界条件 （声压边界 p = 0）

时域分析

设想我们在x = x0处限定声压为零的边界条件。此问题的一般解为相对于x = x0反对称的两个函数叠加：

声压为零的边界条件起到反镜像的作用（图8.3），犹如一个反对称的镜像波与最初的入射波叠加，以保证在镜面处（即壁面处）声压的和为零。在现实中，声压为零的边界条件极少出现。然而，流体的自由表面经常可以用此种边界条件模拟。对一段管道的开口端，例如长笛的开口，也可以使用声压为零边界近似表示，这里的前提条件为声波波长远大于开口的直径。

图8. 3：上图显示声压为零的平面对入射波的反射。下图显式边界条件的平面起到一个反镜像的作用，在入射波的基础上叠加了一个反对称的反射波。

频域分析

在存在自由面（声压在此面上为零）的边界条件时，声压在频率域的解为：

反射波与入射波的幅值大小相同，但是相位相反。

8.1.3  吸音表面边界条件

频域分析

现在我们考虑前面两种边界条件的中间状态，即边界条件表面对声波具备一定的吸收能力以及一定的反射能力。我们还是从一维的一般解出发：

壁面上的速度和声压分别为：

壁面上的声阻抗是声压与速度的比值：

这里我们引入与频率相关的反射率R的概念：

于是阻抗也可以写成：

将上式做一定变换，把反射率R写到方程左面，可以得到：

入射波的声强可以写成：

结合8.18式，反射波的声强为：

被吸收的声强相当于入射声强与反射声强的差值：

而入射声强与反射声强两者的比值可被定义为吸收系数α：

将上述比值颠倒过来，反射声强与入射声强的比值可以被定义为反射系数r：

可见，吸收系数与反射系数的和为1：

声阻抗（Zn）、反射率（R），吸收系数（α）和反射系数（r）的区别

壁面对声波的部分反射和部分吸收现象，可以通过这四个系数中的任意一个表示：法向声阻抗 Zn、反射率R，吸收系数α和反射系数r。声阻抗和反射率是复数，可以表示壁面上的材料对于入射波幅值以及相位的双重作用。吸收系数和反射系数是实数，可以提供反射波声强级的信息，但是不包含其相位信息。

特性阻抗与缩减阻抗

如果某壁面的法向阻抗值为ρc，那么壁面的反射率R，反射系数r和反射的声强全部为零，而它的吸收系数α为1，吸收的声强等于入射声强。在法向入射条件下，具有ρc阻抗数值的壁面对声波完全吸收。阻抗数值ρc被称作材料的特性阻抗。对于任意一种给定材料的阻抗，我们常常将其与上述特性阻抗做对比，两者的比值被称为缩减阻抗z：

时域分析

使用反射率的概念，将公式8.14写成下面形式：

声压在某位置的时间历程可以通过对上式进行逆向傅里叶变换得到：

上式中的 号为卷积运算符，r(t)为反射率R(ω)对应的时域信号 :  ( r(t) ó R(ω))