浅谈结构有限元分析中的接触问题

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1、概述

在工程结构分析中，经常会遇到大量的接触问题，如齿轮啮合、法兰连接、轴承接触、密封、冲击等。接触是典型的状态非线性问题，是一种高度的非线性行为。对一般情况下的接触问题进行求解，常用的数值方法是有限单元法，有限差分法和边界法。由于有限单元法概念简单，易于利用计算机计算并且可以适用于各种几何形状、材料特性和载荷条件，在接触问题的数值求解中得到广泛的应用。接触是状态的非线性，系统的刚度依赖于接触状态。

接触问题分为两种基本类型：刚体─柔体的接触，柔体─柔体的接触。在刚体─柔体的接触问题中，接触面的一个或多个被当作刚体，(与它接触的变形体相比，有大得多的刚度)。一般情况下，一种软材料和一种硬材料接触时，可以假定为刚体─柔体的接触，许多金属成形问题归为此类接触。柔体─柔体的接触是一种更普遍的类型，在这种情况下，两个接触体都是变形体(有相似的刚度)。柔体─柔体接触的一个例子是法兰连接。

2、接触算法介绍

接触问题可描述为求区域内位移场U，使得系统的势能在接触边界条件的约束下达到最小　，即

式中K、U、F分别为通常有限元位移法中的刚度矩阵、未知结点位移向量和结点荷载向量，为两物体间的穿透量。

接触约束算法就是通过对接触边界约束条件的适当处理，将上式所示的约束优化问题转化为无约束优化问题求解。根据无约束优化方法的不同，主要可分为罚函数方法、Lagrange乘子法及增广Lagrange乘子法等。

（1） 罚函数法

数学上要求有限的穿透量在交界面处产生接触力。保持系统平衡需要此接触力。为了平衡， 必须大于零。然而，实际的接触体相互不穿透。因此，为了最高的精度，应使发生在接触界面处的穿透量最小，这意味着，理想的接触刚度应该是个非常大的值。然而，值太大会引起收敛困难。如果接触刚度太大，  一个微小的穿透将会产生一个过大的接触力，在下一次迭代中可能会将接触面推开，用太大的接触刚度通常会导致收敛振荡，并且常会发散。

（2） Lagrange乘子法

Larange乘子法实质上增加一个附加自由度 (接触压力)，来满足不可穿透条件。

（3） 增广Lagrange乘子法

将以上两种方法结合起来，就是增广Lagrange乘子法。接触协调基于惩罚刚度的确定。一旦达到平衡，检查穿透容差。此时， 如果有必要，接触压力增加，迭代继续。

3、接触刚度的设置

两物体间穿透量大小取决于接触刚度，过大的接触刚度可能会引起总刚矩阵的病态，而造成收敛困难。一般来讲，应该选取足够大的接触刚度以保证接触渗透小到可以接受，但同时又应该让接触刚度足够小以使不会引起总刚矩阵的病态问题而保证收敛性。

单元的材料特性来估计一个缺省的接触刚度值，用实常数FKN来为接触刚度指定一个比例因子或指定一个真正的值，比例因子一般在0.01和10之间，当避免过多的迭代次数时，应该尽量使渗透到达极小值。

为取得一个较好的接触刚度值，又可需要一些经验，可以按下面的步骤进行。

（1）开始时取一个较低的值，低估些值要比高估些值好，由一个较低的接触刚度导致的渗透问题要比 过高的接触刚度导致的收敛性困难，要容易解决。

（2）对前几个子步进行计算，直到最终荷载的一个比例(刚好完全建立接触)。

（3）检查渗透量和每一子步中的平衡迭代次数，如果总体收敛困难是由过大的渗透引起的（而不是由不平衡力和位移增量引起的），那么可能低估了FKN的值或者是将FTOLN的值取得太小，如果总体的收敛困难是由于不平衡力和位移增量达到收敛值需要过多的迭代次数，而不是由于过大的渗透量，那么FKN的值可能被高估。

总的来说，接触问题在结构分析中是一个较难的问题，需要设置接触类型、接触区域、接触刚度等，而接触的设置准确与否直接影响到求解结果。因此，在设置接触过程中应仔细推敲确定。