精确耦合波法(4)--精确高效算法：坐标变换法

现实主义的土壤

      精确耦合波法（rigorous coupled wave analysis，RCWA），也称为傅里叶模态法（Fouriermodal method，FMM）。顾名思义，该算法将电磁场问题从空间域变换至空间频率域（即傅里叶域），在空间频率域中求解电磁场本征模式（即傅里叶模态）。从原理上看，RCWA/FMM方法属于模式展开法的一种，不同于有限差分本征模FD-EME在空间域内求解波导模式，RCWA法是在空间频率域内求解电磁场模式分布，该方法也可与散射矩阵法S matrix联合使用处理多层复杂结构中的电磁场传播问题。

      对于精确耦合波法的介绍分为：基本原理，收敛性改进，多层结构计算，精确高效算法等。

      今天我们来介绍第四部分--精确高效算法：坐标变换法

      与所用的本征模式解法一样，基本的RCWA算法求解复杂结构中的电磁场时，需要对结构做网格划分。对于上节图2中所示的连续结构分布，在直角坐标系中沿着z方向做分层将引起两个问题：（1）使用有限层的近似结构描述将会带来一定误差，且误差随着分层数减少而增加；（2）算法中必须对分层后的每层介质分别做本征模式求解，层数越多计算量随之越大，这样会带来计算效率的降低。

      坐标变换方法正是为了解决上述问题而提出的，其基本思路是将直角坐标变量替换为

      其中坐标可以紧贴真实连续形形貌，这样一来，便可将电磁场边界条件直接应用在实际连续界面上。要实现这种非正交（non-orthogonal）的曲线（curvilinear）坐标变换，还需要将麦克斯韦方程改写为协变（covariant）形式（在狭义相对论中常常用到协变形式），并且使用麦克斯韦方程在不同坐标系下的不变性。

      根据上面定义的坐标系间的关系，可以得到用于描述二者间几何关系的逆变度量张量

      接下来，可以从原Oxyz 坐标系内的介电常数张量计算新坐标系内的介电常数

      基于电磁场坐标变换下的不变性，在坐标系内需要求解的仍是如下形式的麦克斯韦方程组中的两个旋度方程

      要将上述方程从矢量形式变换为协变形式，可使用张量的基本性质——对于任意两矢量A和B，二者满足如下关系

      其中，，。使用上述关系，可将两个电磁场旋度方程改写为如下的协变形式

      上述坐标变换的结果是，将原本直角坐标系下的复杂结构问题转换为另一坐标系下物质本构关系问题。之后的解法与基本的RCWA方法一致：将问题转至空间频率域求解矩阵本征值问题，再利用散射矩阵求解边界条件。

      与基本RCWA算法相比，坐标变换法在处理具有平滑曲面、复杂几何结构的微纳结构时具有明显优势，如图1所示。

图1 倾斜坐标的结构建模：(a) 坐标变换RCWA法在倾斜坐标系内的结构描述；(b) 直角坐标系内的阶梯近似描述

      在上述倾斜光栅示例中，若使用直角坐标系下标准RCWA算法，则必须沿着z方向将真实光栅结构近似成阶梯状，既增加了计算量、还令模型精度下降；反之，使用倾斜坐标系则仅需一层便可精确描述倾斜光栅的准确结构，即保证了模型精度、还能提升计算效率。