光束传播法(1)--算法原理

现实主义的土壤

      光束传播法（Beam Propagation Method，BPM）是利用有限差分法直接求解频域亥姆霍兹方程，只需要对三个空间方向进行差分。由于其效率和精度，BPM在仿真光波导介质中的电磁波传播中得到广泛的应用。BPM的使用也十分灵活，可以根据不同器件结构调整参数和算法形式，应用于不同的计算场合。如果采用了半矢量算法形式，不同的电磁场分量相互分离，分别计算，可以进一步降低对硬件的要求，提高计算效率。通过不同近似程度下的BPM可以对各类无源波导器件进行数值验证并且对其中的损耗及偏振等特性进行准确分析。该方法根据三维波导结构中偏振特性是否可以忽略划分为三维半矢量算法和全矢量算法；根据传输方向角度的大小不同有傍轴近似和高阶广角近似；根据算法的实现形式，有显示算法和隐式算法；针对三维算法存在不能直接高效求解的问题，可以引入交替方向隐式算法（ADI）。根据不同器件结构选取不同的算法形式，可以在保证足够计算精度的情况下对具有低折射率差大尺寸的无源波导器件进行快速的数值仿真，优化性能并且加快器件设计的周期。

      对于光束传播法的介绍分为：算法原理，交替方向隐式求解，广角算法扩展，有限差分格式，边界条件。

      今天我们来介绍第一部分--算法原理

      频域下电磁波在介质中的传播所对应的麦克斯韦方程组为：

      其中n (x,y,z )是介质的折射率分布，假设其为各项同性的均匀介质，如果对上述方程直接差分求解，过程比较复杂，在这里需要首先对旋度方程解耦合，保证每个方程中只包含电场分量或者磁场分量，然后单独求解，从而简化求解过程。

      利用电场的旋度方程等号两边同时再次求旋度并且通过公式变换可以得到：

      其中，是真空中的波数。再次对电场的横向分量ET和纵向分量Ez进行分离

      其中，横向分量ET =ixEx +iyEy ，▽T表示对横向坐标的偏微分。

      对电场的散度方程展开后对于折射率沿着纵向z轴不变或者变化缓慢的结构，上式变换为

      电场分量可以分离出沿着z轴的相位快变因子，即

      其中，n0为参考折射率。横向折射率差较小的波导结构满足慢包络近似，即

      其中，横向电场分量关于z轴的偏微分中二阶则可以忽略不计。在傍轴近似下的全矢量波动方程组

      其中，微分算符的具体表达式

      对于偏振耦合微弱的波导结构，其耦合项，即半矢量的BPM对应的控制方程为

      对于弱波导或者偏振特性不再被考虑的波导结构，其中的偏振特性可以完全被忽略。在标量近似下控制方程简化为单个波动方程

      其中，Φ 表示横向电场和磁场分量，H 的表达式为

      针对傍轴近似下的全矢量波动方程组的求解，因为关于z轴为一阶偏微分方程，其对应的差分形式为

      其中，α为纵向差分的控制因子。