光束传播法(2)--交替方向隐式求解

现实主义的土壤

      光束传播法（Beam Propagation Method，BPM）是利用有限差分法直接求解频域亥姆霍兹方程，只需要对三个空间方向进行差分。由于其效率和精度，BPM在仿真光波导介质中的电磁波传播中得到广泛的应用。BPM的使用也十分灵活，可以根据不同器件结构调整参数和算法形式，应用于不同的计算场合。如果采用了半矢量算法形式，不同的电磁场分量相互分离，分别计算，可以进一步降低对硬件的要求，提高计算效率。通过不同近似程度下的BPM可以对各类无源波导器件进行数值验证并且对其中的损耗及偏振等特性进行准确分析。该方法根据三维波导结构中偏振特性是否可以忽略划分为三维半矢量算法和全矢量算法；根据传输方向角度的大小不同有傍轴近似和高阶广角近似；根据算法的实现形式，有显示算法和隐式算法；针对三维算法存在不能直接高效求解的问题，可以引入交替方向隐式算法（ADI）。根据不同器件结构选取不同的算法形式，可以在保证足够计算精度的情况下对具有低折射率差大尺寸的无源波导器件进行快速的数值仿真，优化性能并且加快器件设计的周期。

      对于光束传播法的介绍分为：算法原理，交替方向隐式求解，广角算法扩展，有限差分格式，边界条件。

      今天我们来介绍第二部分--交替方向隐式求解（ADI）

      傍轴近似下的全矢量波动方程组可以写为矩阵形式，即

      在采用Crank-Nicholson格式直接差分可以得

      整理得到ADI求解表达式为：

      其中，，