光束传播法(5)--边界条件：透明边界条件

现实主义的土壤

      光束传播法（Beam Propagation Method，BPM）是利用有限差分法直接求解频域亥姆霍兹方程，只需要对三个空间方向进行差分。由于其效率和精度，BPM在仿真光波导介质中的电磁波传播中得到广泛的应用。BPM的使用也十分灵活，可以根据不同器件结构调整参数和算法形式，应用于不同的计算场合。如果采用了半矢量算法形式，不同的电磁场分量相互分离，分别计算，可以进一步降低对硬件的要求，提高计算效率。通过不同近似程度下的BPM可以对各类无源波导器件进行数值验证并且对其中的损耗及偏振等特性进行准确分析。该方法根据三维波导结构中偏振特性是否可以忽略划分为三维半矢量算法和全矢量算法；根据传输方向角度的大小不同有傍轴近似和高阶广角近似；根据算法的实现形式，有显示算法和隐式算法；针对三维算法存在不能直接高效求解的问题，可以引入交替方向隐式算法（ADI）。根据不同器件结构选取不同的算法形式，可以在保证足够计算精度的情况下对具有低折射率差大尺寸的无源波导器件进行快速的数值仿真，优化性能并且加快器件设计的周期。

      对于光束传播法的介绍分为：算法原理，交替方向隐式求解，广角算法扩展，有限差分格式，边界条件。

      今天我们来介绍第五部分--边界条件(1)：透明边界条件

      因为大部分的波导结构在边界处折射率是均匀的，因此该处的电场是标量场，为了简单说明透明边界条件（TBC）的原理，在这里采用二维傍轴近似下的标量波动方程

      考虑的与边界相临的局部均匀介质中的波动方程，折射率n为常数，参考折射率n0和折射率相等，因此在边界附近的方程可以简化为

      经过变化得到对应的能量形式为：

      其中，假设b对应图1中右边界，Fb表示能量离开右边界，Fa表示能量离开左边界，在此仅讨论右边界。

图2 二维结构TBC边界条件离散网格示意图

      假设在边界处的电磁波为平面波，即

      其中，kR表示为右边界处的沿着x轴的空间波矢。将上式代入能量关系中可得

      因此只要保证横向波矢分量的实部为正数，则右边界的能量在减小，说明到达有边界的电场正在离开仿真区域。左边界采用相同的处理方式。对于右边界第n+1步的标量场满足的有限差分关系为

      其中的横向波矢分量需要由上一步可得即，TBC边界条件与波导结构无关，因此更加稳定而且使用更加简单。