本征模式分解法(2)--三层平板光波导

现实主义的土壤

      常用的本征模式分解法基于有限差分，将连续的微分算符转为差分后，在给定横向结构中求解电磁场的本征模式。如前文所述作为一种模式分解算法，EME法在计算具有较大纵向尺寸结构时有很大的优势，并且该算法通过模式分布可展示内在物理过程，为器件的设计提供清晰的思路。

      对于本征模式分解法的介绍分为：算法模型原理，三层平板光波导，BOX波导模型，光波导的PML模型，复模式匹配算法。

      今天我们来介绍第二部分--三层平板光波导

      以三层平板波导为例进行说明。三层平板波导是最简单的光波导结构的理论模型，其假设波导在其中二个维度是无限均匀分布的，波导的折射率只在一个维度上变化。图1是三层平板波导的结构示意图，其是由衬底层、芯层和上包层（折射率分别是n1，n2和n3）组成的三明治结构。在这里假设波导在y，z方向是无限的，所有材料的都是各向均匀材料。

图1 三层平板波导结构和折射率：折射率分布满足n1＞n2＞n3，波导芯层厚度为2a。

      波导的模式是电磁场在波导横截面上的分布，也就是说将电磁波的横向分量和纵向分量进行了分离。这里假设波导的传播方向为z的正向，将传输方向上波导模式的传播常数定义为β =k0neff ，其中neff 为模式的等效折射率。通过麦克斯韦方程，我们得到三层介质平板波导满足亥姆霍兹方程：

      其中，。已知波导的形成条件是全内反射和相位叠加条件，也就是说在波导横截面来看，其芯层内的场分布应该是来回震荡形成的驻波形式，也就是说只存在独立的解能满足相位叠加条件，其余的电磁能量由于不能形成稳定传输条件而发散，形成辐射模。