本征模式分解法(5)--复模式匹配算法

现实主义的土壤

      常用的本征模式分解法基于有限差分，将连续的微分算符转为差分后，在给定横向结构中求解电磁场的本征模式。如前文所述作为一种模式分解算法，EME法在计算具有较大纵向尺寸结构时有很大的优势，并且该算法通过模式分布可展示内在物理过程，为器件的设计提供清晰的思路。

      对于本征模式分解法的介绍分为：算法模型原理，三层平板光波导，BOX波导模型，光波导的PML模型，复模式匹配算法。

      今天我们来介绍第五部分--复模式匹配算法

      在波导中传输的电磁波可以按照传输方向和波导的横向进行场的分解，也就是说，电场和磁场可以分解为E(rt,z)=Et+Ez和H(rt,z)=Ht+Hz。代入介质中的麦克斯韦方程组可得：

      假设材料的折射率在z向不是均匀的，也就是说折射率可以表示为n=n(x,y,z)，如图1所示。对该结构进行拆分，将传输方向不均匀的波导拆分成N段均匀的小段，并称这一小段为局部波导。局部波导模式的场分量可表达为

图1 不连续器件结构仿真模型

      利用上式，可将麦克斯韦方程组进一步简化为

      因此，整个仿真区域内的电磁场(E,H)的分布可以用各段局部波导的模式进行展开，其展开式为

      从上述公式可见，传统的模式匹配理论中电磁场的展开需要两部分，分别是导模的展开和辐射模的展开。由于辐射模的计算需要用到积分，而单独用导模计算又是不完备的，因此传统的模式匹配算法的适用性非常有限。从上几节我们知道，PRB+PML的波导仿真模型可以对辐射模进行离散，进行简化，进而得到复模式展开公式

      下面将进行复模式匹配算法中参数矩阵的推导。对于图9所示的不连续波导结构，假设波导A和波导B的模式都是已知的，其中波导A中模式数量为N，波导B中模式数量为M。则在波导的交界面处由场的连续性可得

      其中，，，。S矩阵的维度为( N+M )×( N+M )。

图2 不连续分段波导结构模型

      波导A和波导B的交界面处左侧的场分布可以用波导A的模式表示出来，如下所示

      在界面右侧的场分布用波导B的模式表示为

      在波导A和波导B的边界处，利用电磁场的连续性条件，可得

      波导A和波导B在交界面处可用T矩阵联系起来，可表达为

      其中，系数矩阵A±和B±表示波导A和波导B中正向传输和反向传输模式的系数，+表示正向传输，-表示反向传输。因此整个器件的传输矩阵T可以由各局部波导的传输矩阵Pn和波导截面处的系数传输矩阵Tn表示出来，其表达式为

      其中传输矩阵Pn的表达式为

      综上，EME算法的计算精度受限于两方面，一是所采用的本征模式的精度，如正交性、完备性等；二是仿真结构的分割个数。理论上当所采用的模式正交性良好、数量足够大，同时分割的均匀小段足够多，其计算结果应和实际结果一致。