禁锢思想，这个世界就永远只有自然数

zsq-w

前天上PDE（偏微分方程）的时候，老师讲一个问题突然遇到1-1+1-1+1....的值的问题。因为他是用2个方法讲，最后发现二者就差一个系数：
                         一个系数是1/2，一个系数是1-1+1-1+1....
然后老师笑着说，众所周知1-1+1-1+1....是不收敛的，但是这次我从物理（Physiccal）的角度证明他收敛于1/2.我们大家都笑了，ms还是有点道理。

他还笑嘻嘻的给出数学证明：
设： x＝1-1+1-1+1....
则： x＝1-1+1-1+1....＝1-（1-1+1-...）＝1-x
故： x＝1-x
即： x＝1/2.

虽然这个从数列的角度发散（就是说光凭数列的理论求不出来），但是换个思维方向就能求出来了，呵呵，挺有意思的。
       我想起来我以前也思考过这个数列求和的：
项数是无穷的，但是要么是奇数要么是偶数。
项数取奇数，则x＝1 （概率是1/2）
项数取偶数，则x＝0 （概率是1/2）
然后x就应该等于1×1/2+0＝1/2

呵呵，这个也挺有意思的说。





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希伯斯意外发现了根号二，结果被扔进大海喂鱼，每每想起这个故事就不寒而栗...
看看有些发言，发现历史虽然不会完全重现，但却是惊人的相似，无论是想法还是思维方式...


讨论得差不多了，现在修改标题，锁定。 2011/8/16      by zsq-w

FreddyMusic

有点糨糊！

You teacher's prove: "则： x＝1-1+1-1+1....＝1-（1-1+1-...）＝1-x"
这时符号能否提出来，我表示疑问？这取决于如何定义这个数列。

Your prove: "然后x就应该等于1×1/2+0＝1/2"
这时算得是概率值，能否等于数列值我表示疑问。
反例：2-2+2-2+2-2 .... = ？


You and your teacher's way is interesting.
However, any prove method must be proved to be universal.

it's a function of -(-1)^n, that's it.

zsq-w

yes，就是function   -(-1)^n 问题。
    1  （You teacher's prove）从数列都角度来看，这样做显然不行，但是实际面对这个求值问题，说明数列理论解决不了这个问题，所以寻求用别的方法解决这个问题。
    2  （Your prove）跳出数列都藩篱，这么做ms合理。而且经验上讲，这个函数求和，求前几项发现，和要么是0，要么是1，几乎等几率得取0和1值，从概率的角度可以取其期望值1/2。不过这样很是缺少理论严密性。

[ 本帖最后由 zsq-w 于 2009-2-1 15:48 编辑 ]

wave_li_jinglu

x是什么？实数乎？假设就错了呀！本身就不收敛，再把它假定为x，骗鬼啊！

zsq-w

原帖由 wave_li_jinglu 于 2009-2-1 21:24 发表
x是什么？实数乎？假设就错了呀！本身就不收敛，再把它假定为x，骗鬼啊！

收敛是数列里面的术语。不得不承认，从数列都角度来说，这个就是不收敛，换言之，无法求出这个值。
正因为此，在面对这个问题的时候，不宜再局限于数列中的理论来求这个值了。

在数列理论产生之前，恐怕也很难证明0.3333（3循环）=1/3  ，甚至没有收敛这一术语了。

[ 本帖最后由 zsq-w 于 2009-2-2 18:38 编辑 ]

lian2004

很有意思的问题，抛开证明本身的逻辑性，楼主这种换角度思考问题的精神是值得学习的！
感谢楼上几位的论证，获益良多！

Triumph

很有意思！

xsxcn

这个问题我早就在一本书上看过了，老师犯的根本错误在于“加法结合律在项数无限的情况下不一定成立！”

zsq-w

这个问题我早就在一本书上看过了，老师犯的根本错误在于“加法结合律在项数无限的情况下不一定成立！”
xsxcn 发表于 2009-5-23 11:07

本来是一时兴趣才发起这个问题，没想到现在还有人顶起，呵呵呵。

关于ls所说在某个书上看到过这个题目，这与我讨论的重点毫不相干。
书上只是机械的说明下这个极限不存在 ---------这个我在1楼“虽然这个从数列的角度发散（就是说光凭数列的理论求不出来）”已经提到过。

我这里只是换一个角度来看这个问题。如果一个问题永远只能从某一个角度去考察的话，西方还是认为万物都是god创造的，东方还以为天是女娲补得，人类还都以为地球是世界的中心...................

messenger

忍不住说几句，答的好版主也不用加分，答的不好版主也不用扣分。

你这个角度是错的。

其实，在 x＝1-x中， 此 x 非彼 x 。

你也承认

项数是无穷的，但是要么是奇数要么是偶数。
项数取奇数，则x＝1
项数取偶数，则x＝0

如果你在原x数列中，提出来第一项 1 的话，那么在 x＝1-x中， 前 x 数列比后 x 数列少一项。也就是说，不是前 x 数列为奇数项，后 x 数列为偶数项，就是前 x 数列为偶数项，后 x 数列为奇数项。

即，

当前 x 数列为奇数项， x＝1-x， 变为 1=1-0，等式成立。

当前 x 数列为偶数项， x＝1-x， 变为 0=1-1，等式成立。

另外，你对概率的理解也有问题，就不展开说了。

我觉得你们老师知道这个证明是错的，不然他不会笑嘻嘻的。

本来是一时兴趣才发起这个问题，没想到现在还有人顶起，呵呵呵。

关于ls所说在某个书上看到过这个题目，这与我讨论的重点毫不相干。
书上只是机械的说明下这个极限不存在 ---------这个我在1楼“虽然这个从数列 ...
zsq-w 发表于 2009-5-23 13:16

feiying319

我一直有个想法，研究数学的人才是真正的牛人，也比较吐血，从我们最原始想法开始，肯定奇数为1，偶数为0，
上升个层次就去考虑收敛以及概率，
也许从另一个方面考虑，既然可以跳出，那就完全跳出，
因为你用任何理论证明前，你已经有了个假设，假设无穷尽，无穷尽是偶是奇，也就是答案是1是0，这样感觉反过来证明的还是你的无穷尽，既然假设了 ，何必证明？

rocksoil

我一直有个想法，研究数学的人才是真正的牛人，也比较吐血，从我们最原始想法开始，肯定奇数为1，偶数为0，
上升个层次就去考虑收敛以及概率，
也许从另一个方面考虑，既然可以跳出，那就完全跳出，
因为你用任何 ...
feiying319 发表于 2009-5-23 20:37

这个逻辑思维很厉害啊，顶一个

zsq-w

忍不住说几句，答的好版主也不用加分，答的不好版主也不用扣分。

你这个角度是错的。

其实，在 x＝1-x中， 此 x 非彼 x 。

你也承认

项数是无穷的，但是要么是奇数要么是偶数。
项数取奇数，则x＝1
项 ...
messenger 发表于 2009-5-23 15:09

如果人类一直只有这种思维模型的话，学科永远只能在原来的地基上打转。

还是毕老师厉害，直接让他提出根号二的学生早点去见了上帝，哈哈哈。

fanxinwulei

1# zsq-w


有点意思

fanxinwulei

1# zsq-w



x＝1-1+1-1+1....＝1-（1-1+1-...）＝1-x"这个等式是中国人的思维，体现出我们做事不严密，哎....

zsq-w

1# zsq-w  



x＝1-1+1-1+1....＝1-（1-1+1-...）＝1-x"这个等式是中国人的思维，体现出我们做事不严密，哎....
fanxinwulei 发表于 2009-6-11 16:55

这个倒是批评的对！  呵呵，谢谢fanxinwulei。

refeihc

数学发展到今天，这已经不是个问题了。
据我所知对这个问题的正确认识应该不晚于牛顿时代。
楼上说的“加法结合律在项数无限的情况下不一定成立！”是对的。
还可以说是“对于无穷级数，必须满足收敛条件才能用结合律”。
老师的错误就是不满足收敛性条件，却非要用结合律。

按这个逻辑，如果把交换律和结合律都用上，还可证明x等于任一个有理数。

不能说是中国人的思维不严密，今天有不少老外也不见得在这个问题上比中国人强，尽管这只是一个低级问题。

lothink

看到大家的讨论，在数学上没一步的计算都有真正的根据，而不要想当然！

weiping0517

呵呵，楼主这也行啊

debateshang

我也凑热闹一下，
这种想法早就有了，记得看过《古今数学思想》克莱因的，
将有三个大数学家都翻过类似错误，1-1+1-1......
第一种观点 认为为0 （1-1）+（1-1）.......
第二种观点 认为为1 1+（-1+1）+（-1+1）....
第三种观点 认为 1-1+1-1....是1/(1-x)的级数展开形势1/(1-x)=1+x+x^2+x^3....,此时x=-1时候，为1/2
貌似连大数学家欧拉都支持第三种观点，其余两种观点也是著名数学家提出来的（我记不清名字了）