整数矩阵和实数矩阵特征向量的问题

eigen

同一个矩阵m，如果它既是整数矩阵，又看成实数矩阵，那么它的特征向量用Mathematica计算出来的结果是不一样的。例如：
整数矩阵：

1. m = {{2, 5, 7}, {1, 2, 3}, {3, 7, 2}}
   
2. {eigVal2, eigVect2} = Eigensystem[m] // N
   

复制代码

它的特征值和特征向量为：
(9.69516    -3.45643    -0.23873
{1.27023,0.554924,1.}    {-0.936316,-0.378211,1.}    {-56.3339,23.8233,1.}
)

对应的实数矩阵：

1. {eigVal1, eigVect1} = Eigensystem[m // N]
   
2. ordeig = Ordering[eigValWn]
   

复制代码

它的特征值和特征向量为：
(9.69516    -3.45643    -0.23873
{-0.743165,-0.324666,-0.585063}    {-0.658834,-0.266126,0.703644}    {-0.920905,0.389445,0.0163472}
)

eigen

这两种类型的矩阵对应的特征向量不一样。而且实数矩阵的特征向量是正交化的。但整数矩阵的特征向量中都有一个“1”，这个“1”还不是最大或最小值。为什么会有这样的结果呢？

kptnw

Eigensystem对整数和实数调用不同的算法
对整数：

1. Eigensystem[{{2, 5, 7}, {1, 2, 3}, {3, 7, 2}}]

复制代码

会生成Root对象:

1. {{Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 3],
   
2.   Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 1],
   
3.   Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &,
   
4.    2]}, {{-59 - 43/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 3] +
   
5.     7/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 3]^2,
   
6.    25 + 19/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 3] -
   
7.     3/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 3]^2,
   
8.    1}, {-59 - 43/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 1] +
   
9.     7/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 1]^2,
   
10.    25 + 19/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 1] -
    
11.     3/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 1]^2,
    
12.    1}, {-59 - 43/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 2] +
    
13.     7/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 2]^2,
    
14.    25 + 19/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 2] -
    
15.     3/4 Root[-8 - 35 #1 - 6 #1^2 + #1^3 &, 2]^2, 1}}}

复制代码

eigen

谢谢kptnw的回答！的确对于整数矩阵和实数矩阵特征向量是用不同的算法。但Mathematica的built-in 函数的源代码看不到，就不知道它到底用什么具体算法计算的。这样，想要继续改进或分析算法的收敛性或稳定性就不能做了。