关于Mathematica中Function，Pattern，Symbol，Expression概念和本质的探讨

guocong89

随着对Mathematica的运用越来越熟悉时，一旦静下来想想，发现对很多基础的概念的理解有着太多的模棱两可，对基础概念的不确信导致在很多问题上的困惑，因此希望和大家探讨一下对一些基础概念的理解，希望能够加深自己的认识。
首先是Symbol。这个应该是组成Mathematica的基石，是一切物质的组成成分之一。
那么什么是Symbol呢？与Symbol处于相同相同地位的其他概念有哪些呢？
1是什么？分号是什么？

在我的理解里，Mathematica的世界由四大阵营组成，Symbol，Number，String和Operator。
四大阵营属性各不相同，在功能和应用上表现出完全的不对等。
Operator最为特立独行，身为世界的执法官，与其他各阵营完全不兼容，其唯一的作用可以理解为——标识语法和语义。Symbol是最为宽容和灵动的阵营，一生变幻无穷，在三个阵营中自由穿梭，是Mathematica生命力的源泉。
Number和String则是绿叶般得衬托，出生之后就再也不能有任何变化，它们甘愿去充当Symbol（这里有疑问，以下解释）灵动的身躯里坚实的骨架，用自身的陨亡和新生命的诞生换来Symbol轻盈的变化。当然，执法者Operator也在其中扮演者不可替代的角色。
如果世界能够按照上述规则和睦的存在就好了，那只是存在于理想之中，总是有捣蛋鬼会来做些破坏。
请问，

1. 。是Symbol还是Operator？

复制代码

不要轻易下结论，试试这个例子

1. 。+。

复制代码

1. 12 +。

复制代码

1. 12  。

复制代码

结果表现出了完全的不可理解。这是为什么呢？
另外，我把它们分开写，是因为它们完全无视换行的存在。

guocong89

基于前面的讨论，有一个问题不免会浮现出来：

1. a=1

复制代码

究竟代表了什么？
a还是a么？a是1么？a现在是什么阵营，Symbol or Number？

1. a = 1
   
2. SymbolName[a]
   
3. NumberQ[a]
   
4. Set[a, 2]
   
5. Attributes[{NumberQ, Set}] // Column

复制代码

这个测试或许可以说明点什么，除非被Hold住，否则a会彻底的变身到其他阵营。

但是问题远没有这么简单，因为还有后面更加复杂的捣蛋鬼没有介绍。

guocong89

在Mathematica世界里，来自三大阵营的纯种成员并不常见，这个世界其实是属于混血儿——Expression——的。

虽然Expression可以看作一个更加庞大的阵营，以至于除了执法官以外的其他三大阵营都可以看作它的优秀子民，但是这个阵营内部党争严重，帮派纷争，分成了大大小小的团体，也许就是Pattern吧。

Pattern的存在让Expression有了归属感，它们成为法律rule执行的准绳。有了Pattern，我们就差最后一个主角没有介绍了，Function。
Function其实就是把符合一定Pattern的Expression变换为另外一个Expression的东西，而我们习惯上给他们一个名字，像f，g，Sin，Plot，而这些名字实际上就是Head的返回值。

一切都显得那么自然，没有任何争议，我们对它都是太习惯了，不论有没有用过Mathematica。但是一个真正重要的问题我们却似乎从来没有思考过。
f[x][y] 代表了什么?

代表了什么?

guocong89

TBE 前几天的帖子引发了这个问题的讨论和思考。是的，f[x][y] 表示了什么含义?

也许和大多数人一样，我想当然的认为，这定义了一个函数，匹配形如 f[_][_] 的函数定义，它是f的一个DownValue。矛盾由此引发。

没错，它匹配  f[_][_] 的定义，但是它不是f的DownValue。

更为重要的一点是，一个Expression的Head不必要是个Symbol，它可以是任意Expression。也就是说，x+y可以是个函数名，f[x]也可以是个函数名。因此，对于f[x][x][x][x][x]来说，它仅仅是f[x][x][x][x]的一个简单函数而已。这种现象其实并不罕见，

1. Through@{Sin, Cos}[Pi]

复制代码

但是，问题要是像以上描述的这么简单就好了，但是奇怪的行为还是层出不穷。

1. Clear["`*"]
   
2. f[x_][y_] := a
   
3. f[x_] := b
   
4. b[y_] := c
   
5. f[x][y]
   
6. Information[f]
   
7. MatchQ[f[x][y], f[x_][y_]]
   
8. MatchQ[f[x][y], b[y_]]

复制代码

结果

1. c
   
2. Global`f
   
3. f[x_][y_]:=a
   
4. f[x_]:=b
   
5. True
   
6. True
   

复制代码

请问这个该怎么解释呢？
我只能从优先级角度说，模式替换优先级高于模式匹配，因此f[x]先被替换成b

更进一步

1. Clear["`*"]
   
2. f[x_] := b
   
3. f[x_][y_] := a
   
4. Attributes[SetDelayed]
   
5. Information[b]
   
6. Hold[f[x][y]]
   
7. f[x][y]

复制代码

结果

1. {HoldAll, Protected, SequenceHold}
   
2. Global`b
   
3. b[y_]:=a
   
4. Hold[f[x][y]]
   
5. a

复制代码

既然SetDelayed具有HoldAll属性，Hold确实可以控制住f[x][y]，那么为什么f[x_][y_] := a的定义还是转给了b呢？