复合材料均匀化理论中的周期边界条件，等位移边界条件，固定边界条件之区别

ma

在前两天的一个贴子中，和斑竹,以及hillyuan简单讨论了周期边界条件。
这三种边界条件其实是不同的边界条件，但又存在一定的联系。
通过简单推导可以发现，等位移边界条件是周期边界条件的一种简化形式，而且与固定边界条件等价。
对于一个单胞来说，所谓周期边界，就是对边位移相差一个宏观应变（边界）乘以单胞的长度，即差值是边界点的位移。
比如 u2=u1+strain*lengh of unit
而如果我们约束单胞的角节点位移（约束三个角节点即可），这样角节点就不会发生位移，即strain=0
这样周期边界条件就退化为等位移边界条件，即 u2=u1
这个等位移边界条件，好多资料也称之为周期边界条件，实际上这种说法是不太准确的，周期边界条件适用范围要大于等位移边界条件，或者说等位移边界条件是一种特殊的周期边界条件。

通过对同一个单胞，采用等位移边界条件和固定边界条件，得到的等效刚度相同，这也说明了这两种边界条件是等价的。
实际上，对单胞施加等位移边界条件，然后对材料施加单向初应变（这个初应变可通过给定材料热膨胀系数和温度来实现，相当于让单胞受热膨胀）,计算结果也表明，由于单胞角节点固定，计算后的单胞周边法向位移为0，这也和固定边界条件是一致的。

ma

另外一点，是我个人的看法，
就是对复合材料均匀化理论，单胞所满足的边界条件严格来说并不叫周期边界条件，应该称之为等位移边界条件。
对一个单胞，我施加一般的周期边界条件，然后给一个角节点以平动位移梯度（即应变），也就是相当于给一个角节点一个平动位移，( 在这里可以当作宏观应变，这个给定的位移除以单胞的长度就是宏观应变），然后按照均匀化公式，计算细观场的平均应力，最后得到的等效刚度是不对的。
但如果我采用等位移边界条件(或者采用固定边界条件）,宏观应变通过给定材料热膨胀系数和温度来实现，按照均匀化公式计算等效刚度，这个计算结果就完全没有问题。
因此，个人觉得，在均匀化中，宏观应变不能通过给定一个节点的位移来施加，因为这样虽然满足周期边界条件，但却不满足等位移边界条件。这种计算结果也是不正确的，
因此我认为均匀化满足的边界条件应该是等位移边界条件，其宏观应变通过给定初应变来实现。

以上认识可能还不成熟，这几天一直在研究这个问题，有收获也有疑问，等真正搞明白了，一定好好总结一下这几种边界条件，已经好几个晚上没睡好觉了。谢谢两位老大，虽然很忙，但从你们的回复中得到很多有用的信息。

ma

为便于理解，下面结合例子来说明这几种边界条件的区别。
例题描述：
基体中包含一周期性排列的方形纤维。
基体材料参数
MP,EX,1,72e3
MP,PRXY,1,0.33
纤维材料参数
MPDATA,EX,2,,30e3
MPDATA,PRXY,2,,0.33
可看作平面应变问题
取的胞元有限元模型如图所示


均匀化公式 如下图所示

有限元实施：
对复合材料等效刚度均匀化计算，实施起来主要有两点，
其一，边界条件的实施
其二，宏观应变的施加
需要指出的是，对于平面问题，要求得全部等效刚度系数，要分三个工况施加三次宏观应变：x向应变，y向应变，xy剪切应变！
全部等效刚度系数如下图所示



本文为简单说明问题，只加x向应变，求得刚度系数C11，C21。

在这里，主要考察的是边界条件的区别，
因此，用三种方法，对边界条件分别采用等位移边界条件（有的书上也叫周期边界条件），固定边界条件，周期边界条件（就是斑




竹那个pdf里面那种形式，如图）

ma

首先考虑第一种：等位移边界条件

单胞等位移边界条件如图所示


说明：
如果只是令对边位移相等，会发生刚体位移，所以 为限制刚体位移 ，约束 左下 角节点x，y向位移 ，这样根据相对节点位移对应相等，所以左上角节点， 右下角节点位移也被约束，如图所示。除了这几个角节点，其他四条边上的节点也都满足等位移边界条件）



这样，等位移边界条件建立起来了，刚体位移也消除了，接下来施加x方向宏观应变（在这里施加单位宏观应变）。
实施： 给单胞中的材料，设置热膨胀系数（设为1），升高温度（为1度），这样就相当于施加了单位初应变（宏观应变）
然后求解，根据均匀化公式对数据进行处理，得到等效刚度系数：
C11= 60626.7203
C21=28069.6629

截几个图

ma

下面考虑第二种： 固定边界条件

固定边界条件描述：
固定边界条件就是对等位移边界条件的强制性满足，不但相等而且为零。
推导如下：
对单胞考虑法向变形，根据周期性和对称性，在左右两个对边
有




这意味着单胞所有外边界的法向位移固定，显然这个条件也满足等位移条件。




本例中的固定边界条件如下图所示









接下来，施加单向宏观单位应变，和前面相同，也是采用热膨胀系数，然后升温的方法施加 初应变 （宏观应变）
求解，根据均匀化公式对 结果数据进行处理计算，得到等效刚度系数

C11=60626.7203
C21=28069.6629

贴几个 截图





通过对比可以看出，以上两种结果是完全相等的 。

[ 本帖最后由 ma 于 2008-6-20 01:04 编辑 ]

ma

这也说明 以上介绍的
等位移边界条件 和固定边界条件是等价的 ！
得到的结果是相同的 。

ma

下面介绍第三种：一般形式的周期边界条件

这个条件可参看老大的pdf文档，复制如下



按照这个条件，通过耦合方程在ansys中实现。
同样，为避免刚体位移，约束一个角节点。

如图所示





接下来施加宏观应变，给定右下角节点 一个 x方向平动位移 a，（ 这个位移a除以单胞长度a就等于宏观应变1），相当于施加了宏观应变。

然后求解，同样按照均匀化公式对结果数据进行计算，得到等效刚度系数为

C11=19221.1335
C21=32927.0234

结果显然不对！！！！

虽然不对，也贴几个云图吧



















[ 本帖最后由 ma 于 2008-6-20 01:31 编辑 ]

ma

通过以上这三种方法的对比，
可知前两种方法是等效的，结果也是正确的。

对于第三种，不知是我理解的问题，还是这种边界条件根本就不对？感觉的是有问题的，真希望也能用第三种方法得出正确的结果。

我初步的结论，就是第三种边界条件是有问题的，也就是在均匀化中不能用这种所谓的周期边界条件。文献中均匀化问题所说的周期边界条件应该是等位移边界条件，而不应该是 版主所说的这种周期性条件。不知我理解的正确与否，这一关能解释过去，就彻底把这个均匀化和其相对应的边界条件搞清楚了。

希望有人能指出第三种方法的错误，或者给出改正的方法，如果这种方法是没问题的话！

chenzwboy

学习中，楼主能不能帮忙把斑竹的那个pdf发出来，以前那个地址貌似现在打不开了。谢谢~

aresaran

原帖由 chenzwboy 于 2008-10-15 22:36 发表
学习中，楼主能不能帮忙把斑竹的那个pdf发出来，以前那个地址貌似现在打不开了。谢谢~

http://forum.simwe.com/viewthread.php?tid=751909&highlight=%D6%DC%C6%DA%2Baresaran

kai12345

你加的第三中边界应该是代表体元法中的边界，而不是均匀化的周期边界

aakkaa

曾经做过第三种边界的二维模型，当时用的是下图形式的条件，软件是marc。

tm41

我就找这个，好啊

tm41

老兄：我做编织材料性能预报的，请你把你帖子中的参考书名告诉我好吗，只要是讲均匀化和边界条件的都行？另外我的qq448226837，想请你指导一下周期边界，急盼

liuydea

有限元实施：
通过温度和热涨系数可加x向应变，y向应变，请问大侠xy剪切应变怎么加。再就是中间有孔的胞元也可以么。谢谢大侠的帮助。

lvyi112

晕，什么是平面应变问题都没搞清就在这里装专家。

lvyi112

无语了，坐标都没搞清楚。

supermonstor

楼主的周期边界条件施加不正确，约束有问题，只要约束一个点的X和Y方向位移就可以了。此外，“接下来施加宏观应变，给定右下角节点 一个 x方向平动位移 a，（ 这个位移a除以单胞长度a就等于宏观应变1），相当于施加了宏观应变。”是不正确的，给定位移耦合关系后宏观应变就确定了，不需要加额外的位移作为宏观应变。
周期边界条件我算过无数次，都能得到正确的结果。相对于其他边界条件是理论最严格的边界条件！！！！国内外关于这个方面的研究很多，lZ多看看文献！！！

lhblhb_0

这个施加的初应变应当是各个单元的应变吧？另，剪应变能够通过热胀系数施加吗？需要一定技巧吧？

leegoop

你好，请教你的QQ，我做编材料性能预测，请教一些问题，我的qq，448226837，邮箱，leegoop126.com ,项目也可以合作。谢谢