本帖最后由 refeihc 于 2010-6-22 10:53 编辑
我在48楼介绍了前人给出的一种泛函形式，怎么就被认为，在任何时候都只采用这种泛函呢？如果方程是
-\frac{d^2u}{dx^2}+u=x^2
选择的泛函形式就一定是
\Pi(u)=\frac{1}{2}\int_0^L {((\frac{du}{dx})^2+u^2-2x^2u)}dx
如果方程形如
-\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{du}{dx}=x^2
时，此时传统的方法处理起来有困难了，仍可以选择以下形式的泛函
\Pi(u)=\frac{1}{2}\int_0^L {(-\frac{d^2u}{dx^2}+\dfrac{du}{dx}-x^2)^2}dx
看到tonnyw帖子里类似于"your functional"的词汇，让我手足无措，这个泛函形式怎么成了我的专利呢？虽然我做梦都想自己能早生100年，好抢在人家前面把这个成果研究出来，但现实情况是前人早就研究出来了。我不能不顾客观事实，硬说那是“我的泛函”，如果这样，那就成了学术不端了。
改天我争取给大家提供一条线索，说明上述泛函形式我是在哪本书上看到的。
所谓寸有所长，尺有所短，这种泛函形式，与能量泛函相比当然有它的不足，不过我相信大家现在的疑问不少都有人研究过了，只是我没有去考证，大家如果感兴趣，可以有针对性地进行研究。
本帖最后由 refeihc 于 2010-6-22 10:53 编辑
59# tonnyw
我在48楼介绍了前人给出的一种泛函形式，怎么就被认为，在任何时候都只采用这种泛函呢？如果方程是
-\frac{d^2u}{dx^2}+u=x^2
选择的泛函形式就一定是
\Pi(u)=\frac{1}{2}\int_0^L {((\frac{du}{dx})^2+u^2-2x^2u)}dx
如果方程形如
-\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{du}{dx}=x^2
时，此时传统的方法处理起来有困难了，仍可以选择以下形式的泛函
\Pi(u)=\frac{1}{2}\int_0^L {(-\frac{d^2u}{dx^2}+\dfrac{du}{dx}-x^2)^2}dx
看到tonnyw帖子里类似于"your functional"的词汇，让我手足无措，这个泛函形式怎么成了我的专利呢？虽然我做梦都想自己能早生100年，好抢在人家前面把这个成果研究出来，但现实情况是前人早就研究出来了。我不能不顾客观事实，硬说那是“我的泛函”，如果这样，那就成了学术不端了。
改天我争取给大家提供一条线索，说明上述泛函形式我是在哪本书上看到的。
所谓寸有所长，尺有所短，这种泛函形式，与能量泛函相比当然有它的不足，不过我相信大家现在的疑问不少都有人研究过了，只是我没有去考证，大家如果感兴趣，可以有针对性地进行研究。
本帖最后由 bbssbb 于 2010-6-21 05:22 编辑
60# bbssbb
任意性应该如下面理解
对于任意的\delta v，都一定存在\delta u，使得
$-\frac{d^2(\delta u)}{dx^2}+\frac{d(\delta u)}{dx}=\delta v$
61# refeihc
First, I claim that I didn't take any functional courses and for variation method I only took one course, I completely forget it now. If you feel offended, I didn't do it on purpose.
As I mentioned before, my main point is trying to convince people, who want to study FEM, to forget about functional, varational principle, and stationary stuff, and use Galerkin method to get the finite element formulation directly. This seems to me a better and easier way to study FEM.
I have never seen a functional form like the one you showed to us. Even though there is a one, I guess there must be a bunch of constraints about the functional, such as the function has to smooth. It is obvious that if the source term is delta function, the functional you put there even does not exist.
You also mentioned that the minimization problem of the functional is equivalent to the governing equation, which I completely don't agree. I cannot see that from \delta \Pi(u) = 0 you can get the governing equation.
If you can find a reference about such type of functional, please send me a copy and I really appreciate.
I am happy to have such type of discussions with you guys.
60# bbssbb
任意性应该如下面理解
对于任意的\delta v，都一定存在\delta u，使得
$-\frac{d^2(\delta u)}{dx^2}+\frac{d(\delta u)}{dx}=\delta v$
refeihc 发表于 2010-6-21 02:41 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
What's this? You cannot give arbitrary source term. I heard of virtual displacement. Never heard of virtual source term. This does not make sense.
本帖最后由 refeihc 于 2010-6-21 10:15 编辑
我也很高兴这样的讨论，我感觉到基本概念方面是容易理解错的，这样的讨论对自己有帮助。
我不记得是在哪本书上看到这个泛函的了，关于这样构造泛函需要满足的条件，印象中是只要算子可逆即可。我在回答bbssbb的帖子中所理解的任意性其实是用到了算子可逆的条件。
你说的方程右端如果出现Dirac-函数，这种构造泛函的方法就失效了（tonnyw厉害，没有学过泛函分析，竟然能想到这一点）。我同意，那是因为Dirac-函数不是L2可积的。不过稍做改进即可，假设要考虑的方程为
-\frac{d^2u}{dx^2}+\dfrac{du}{dx}=\delta(x-x_d)
构造下面的泛函吧
\Pi(u)=\frac{1}{2}\int_0^L {(-\frac{d^2u}{dx^2}+\dfrac{du}{dx})^2 dx-\int_0^L \delta(x-x_d)(-\frac{d^2u}{dx^2}+\dfrac{du}{dx})dx
仍然是求驻值问题。
本帖最后由 refeihc 于 2010-6-22 10:53 编辑
65# tonnyw
沒有什么问题的，你结合60楼的问题来理解，只是想说明由
-\frac{d^2\delta u}{dx^2}+\frac{d\delta u}{dx}
可以得到任意的函数\delta v，由此说明了泛函驻值问题和方程的强形式是等效的。如果实在理解不了这一点，就如下面给出证明：
对于一般的函数u，泛函
\Pi(u)=\frac{1}{2}\int_{\Omega}(L(u)-f)^2d\Omega\geq 0
若方程L(u)=f成立，则泛函\Pi(u)必取最小值0；反之若泛函\Pi(u)取最小值，因为方程有解，这个最小值只能是零，因此方程L(u)=f成立。
66# refeihc
看来针对不同的问题，构造相应的泛函是个问题。我听说胡海昌构造的板壳单元的泛函完全是凭空想出来的。
有机会可以访问一下下面的网页
http://www.ices.utexas.edu/research/reports/
我发现这群人，在写文章时，很少使用变分原理。
67# refeihc
这个证明前半部分没有问题，后半部分我还有些疑问。
我们经常用的是泛函驻值条件，并不是泛函最值条件。。。
#48楼的泛函(2)的驻值条件，确实包含了强形式解，
但可能还包含了其他解，导致解的不唯一。
... 这个证明前半部分没有问题，后半部分我还有些疑问。
我们经常用的是泛函驻值条件，并不是泛函最值条件。。。
#48楼的泛函(2)的驻值条件，确实包含了强形式解，
但可能还包含了其他解，导致解的不 ...
bbssbb 发表于 2010-6-21 10:33 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
除了强形式解，不可能再包含其它的解了。前提是微分算子L可逆。
70# refeihc
Anyway in most cases, the operator L is symmetric and energy functional always exists.
68# tonnyw
谢谢你提供的网页，很幸运我这里可以下载全文，这个网站是我以前没有发现的。
胡海昌的书曾经看过，对他佩服不已，只是学的东西现在忘了许多。胡海昌曾和钱伟长有过一个基本概念的争论，什么是广义变分原理？找来看看那些文章对于学习变分原理很有帮助。
LOL, most case for most people, what we discussed here are in least cases.
73# refeihc
不好意思，胡海昌，钱伟长的书都没看过。我不是学力学出身的，搞有限元属于半路出家。
tonnyw、苦海孤鸿和bbssbb，你们的建议和质疑让我重新认识基于伽辽金法的有限元方法（这里就称之为伽辽金有限元法吧），我以前不认为它是有限元法，现在不再坚持以前的观点了，而且还意识到这可能是有广泛分歧的一个问题。
争论的目的是要提高认识，伽辽金有限元法的确有许多优点，我以后会进一步关注它。
谢谢你们，还有在这里参加讨论的所有人。
70# refeihc
如果我分步积分没算错的话，#48楼泛函(2)应与如下强形式等价:
\frac{d^4u}{dx^4}-\frac{d^2u}{dx^2} = 0
本帖最后由 refeihc 于 2010-6-25 09:38 编辑
70# refeihc
如果我分步积分没算错的话，#48楼泛函(2)应与如下强形式等价:
\frac{d^4u}{dx^4}-\frac{d^2u}{dx^2} = 0
bbssbb 发表于 2010-6-21 12:44 http://forum.simwe.com/images/common/back.gif
把过程贴出来吧，我也想弄清这个问题，因为那种泛函的等效方程应该是
L^TLu=L^Tf (1)
那么分部积分就应该得到
\frac{d^4u}{dx^4}-2\frac{d^3u}{dx^3}+\frac{d^2u}{dx^2}=0 (2)
式(2)错，更正为
\frac{d^4u}{dx^4}-\frac{d^2u}{dx^2}=0 (2)
式(2)等价于方程
-\frac{d^2z}{dx^2}+\frac{dz}{dx}=0 (3)
式(3)错，更正为
\frac{d^2z}{dx^2}+\frac{dz}{dx}=0 (3)
其中
z=-\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{du}{dx}-1 (4)
分部积分还应得到边界条件
-\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{du}{dx}|_{x=0}=1 (5)
-\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{du}{dx}|_{x=l}=1 (6)
式(5)和(6)等价于
z(0)=0,~~~z(l)=0 (7)
由式(3)和边界条件(7)，只能得到 z=0，即
-\frac{d^2u}{dx^2}+\frac{du}{dx}=1 (8)
式(8)表明，最后可由泛函的变分驻值条件得到原方程。
77# refeihc
建议感兴趣的朋友们，还是好好推敲研究一下，
我觉得问题还没有完全解决，至少很多地方叫人很疑惑。
照理，4阶微分方程，应该还会有3阶的边界条件。。
如果f更一般一些结果应该会更有趣。
有限元法的普遍思路是降阶求解，而让我觉得惊讶的是，这种方法实质上是升阶了。。。
本帖最后由 bbssbb 于 2010-6-23 02:49 编辑
77# refeihc
Let $Y = -\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{du}{dx}-f$
The functional is then nothing else but \Pi =\int Y^2
The variation:
$\delta \Pi =\int 2Y \delta Y = \int 2Y (-\frac{d^2\delta u}{dx^2} + \frac{d \delta u}{dx})$.
For the convenience of representation, I will omit the factor 2 and just write the variation of the functional as
\delta \Pi =\int -Y \delta u'' + Y \delta u' .
Integration by parts:
\delta \Pi = \int Y' \delta u' - (Y \delta u')' - Y' \delta u + (Y \delta u)' .
Integration by part again:
\delta \Pi = \int -Y'' \delta u + (Y' \delta u)' - (Y \delta u')' - Y' \delta u + (Y \delta u)' .
Regrouping:
\delta \Pi = \int (-Y''-Y') \delta u + (Y' \delta u)' - (Y \delta u')' + (Y \delta u)' .
The first term on the RHS is the governing equation and the rest terms are related to the BCs. The governing equation should be
Y''+Y' = 0or
-u''''+u'''-f'' -u''' + u'' -f' = 0
Further simplification results in
u'''' - u'' + f'' + f' = 0,
which usually will not be equivalent with -u'' + u' -f = 0, especially when source term f is a complicated function. I hope there are some errors in my formulations, or else this method will not be a variation consistent one.
本帖最后由 refeihc 于 2010-6-25 08:41 编辑
楼上的兄弟，谢谢你的分析，使我发现了我在77楼的推导有错误，现在改过来了。我们在进行分部积分时还要考虑积分上下限，注意\delta u(0)=\delta u(l) =0，于是
\delta \Pi =\int_{0}^{l}(-Y \delta u'' + Y \delta u')dx
=-\delta u'Y|_{0}^{l}+\int_{0}^{l}(Y'\delta u')dx + Y\delta u|_{0}^{l} -\int_{0}^{l}(Y'\delta u)dx
=-\delta u'(l)Y(l)+\delta u'(0)Y(0) + Y'\delta u|_{0}^{l} +Y\delta u|_{0}^{l} - \int_{0}^{l}(Y''+Y')\delta udx
=-\delta u'(l)Y(l)+\delta u'(0)Y(0) - \int_{0}^{l}(Y''+Y')\delta udx
上式的一阶变分驻值条件\delta \Pi=0对应着
Y''+Y'=0
和
Y(0)=0,~~Y(l)=0
这是一个关于Y的方程，右端项和边界条件都为零，于是只能有解Y=0，即
-u''+u'=f
实际上，你推导的最后一个式子，即
u'''' - u'' + f'' + f' = 0
还可以写成
(-u''+u'-f)''+(-u''+u'-f)'=0
你的推导，如果再加上边界条件就能得到泛函驻值和原方程等价的结论。