关于matlab求解多元超越方程组的讨论

qizc061076

最近在研究一个问题时遇到了一个方程组，经过几天努力，虽然没解出来，但有些心得。论坛里帖子看了许久，没发现类似的。这里贴出来跟大家讨论下。
问题描述

一个4*4的转换矩阵，有8个未知数。

T06=

[k*cos(b)*cos(e),     k*cos(a)*sin(e)+k*cos(e)*sin(a)*sin(b),       k*sin(a)*sin(e)-k*cos(a)*cos(e)*sin(b),       m + bb*k*sin(e) + aa*k*cos(e)]

[-k*cos(b)*sin(e),      k*cos(a)*cos(e)-k*sin(a)*sin(b)*sin(e),       k*cos(e)*sin(a)+k*cos(a)*sin(b)*sin(e),       n - aa*k*sin(e) + bb*k*cos(e)]

[          0,          0,               0,                             0]

[      0,            0,                 0,                             1]

为求解这八个未知数，我找了4组点，有下列关系

T06*（x10，y10，z10，1）=（x16，y16，z16）

T06*（x20，y20，z20，1）=（x26，y26，z26）

T06*（x30，y30，z30，1）=（x36，y36，z36）

T06*（x40，y40，z40，1）=（x46，y46，z46）

这个其实就是八个方程。

qizc061076

解法1，solve。
程序
clear
clc
syms a b aa bb k e m n ;

E1='m+bb*k*sin(e)+aa*k*cos(e)=3277/100'
E2='n-aa*k*sin(e)+bb*k*cos(e)=264/5'
E3='m+bb*k*sin(e)+2*k*cos(b)*cos(e)+aa*k*cos(e)=231/5'
E4='n-aa*k*sin(e)-2*k*cos(b)*sin(e)+bb*k*cos(e)=2637/50'
E5='m+bb*k*sin(e)+2*k*cos(a)*sin(e)+aa*k*cos(e)+2*k*cos(e)*sin(a)*sin(b)=3253/100'
E6='n-aa*k*sin(e)+2*k*cos(a)*cos(e)+bb*k*cos(e)-2*k*sin(a)*sin(b)*sin(e)=1019/25'
E7='m+bb*k*sin(e)-2*k*cos(b)*cos(e)+aa*k*cos(e)=1899/100'
E8='n-aa*k*sin(e)+2*k*cos(b)*sin(e)+bb*k*cos(e)=211/4'
J=solve(E1,E2,E3,E4,E5,E6,E7,E8,a,b,aa,bb,k,e,m,n)

运行结果：没有解析解。这个必然解不出，太复杂了。

qizc061076

解法2，fsolve。
首先定义函数文件
function F=Fcz(x)
a=x(1);b=x(2);aa=x(3); bb= x(4); k=x(5);e= x(6); m=x(7);n=x(8);
F=[m+bb*k*sin(e) + aa*k*cos(e)-3277/100, n-aa*k*sin(e)+bb*k*cos(e)-264/5, m+bb*k*sin(e)+2*k*cos(b)*cos(e) + aa*k*cos(e) - 231/5,    n - aa*k*sin(e) - 2*k*cos(b)*sin(e) + bb*k*cos(e) - 2637/50,     m + bb*k*sin(e) + 2*k*cos(a)*sin(e) + aa*k*cos(e) + 2*k*cos(e)*sin(a)*sin(b) - 3253/100,     n - aa*k*sin(e) + 2*k*cos(a)*cos(e) + bb*k*cos(e) - 2*k*sin(a)*sin(b)*sin(e) - 1019/25,     m + bb*k*sin(e) - 2*k*cos(b)*cos(e) + aa*k*cos(e) - 1899/100,    n - aa*k*sin(e) + 2*k*cos(b)*sin(e) + bb*k*cos(e) - 211/4
    ]
end
然后主程序求解
zhongjiex（8）=0       %赋初值
[x,fval]=fsolve(@Fcz,zhongjiex);

求解结果：根据赋初值的不同得到结果不同，但结果都不对
一般结果状态提示，too many function evaluation or iterations.

qizc061076

解法3，遗传算法
考虑到该方程组可能没有精确解，仅存在接近解，所以用优化算法。
将方程组求解问题化成四个函数的绝对值之和的最小值问题。






















结果：这个精度设置一高的话，就会Error using bin2dec at36 ，Binary string must be 52 bits or less。染色体转换十进制的时候就溢出了。

qizc061076

解法4，模拟退火算法
这个真心算不出来，不收敛的样子。迭代多少次也没用，最好的结果也是优化的目标函数30多。

qizc061076

有没有做过类似工作的，请指点下，还可以怎么解这个方程？

shamohu

可以试下1stOpt

1. 
   
2. Function
   
3. m+bb*k*sin(e) + aa*k*cos(e)-3277/100;
   
4. n-aa*k*sin(e)+bb*k*cos(e)-264/5;
   
5. m+bb*k*sin(e)+2*k*cos(b)*cos(e) + aa*k*cos(e) - 231/5;
   
6. n - aa*k*sin(e) - 2*k*cos(b)*sin(e) + bb*k*cos(e) - 2637/50;
   
7. m + bb*k*sin(e) + 2*k*cos(a)*sin(e) + aa*k*cos(e) + 2*k*cos(e)*sin(a)*sin(b) - 3253/100;
   
8. n - aa*k*sin(e) + 2*k*cos(a)*cos(e) + bb*k*cos(e) - 2*k*sin(a)*sin(b)*sin(e) - 1019/25;
   
9. m + bb*k*sin(e) - 2*k*cos(b)*cos(e) + aa*k*cos(e) - 1899/100;
   
10. n - aa*k*sin(e) + 2*k*cos(b)*sin(e) + bb*k*cos(e) - 211/4;
    

复制代码

目标函数值(最小): 0.022433333333332
m: -16.1264616946215
bb: 1.19809382795766
k: -6.8036717299729
e: -9.42441044849287
aa: 7.16918812395558
n: 44.629822853043
b: -6.26462955783997
a: 22.481590056388

结果有多组（目标函数一样）。1stOpt都是如此估计应该是没有精确解了。

qizc061076

shamohu 发表于 2013-2-3 19:28
可以试下1stOpt目标函数值(最小): 0.022433333333332
m: -16.1264616946215
bb: 1.19809382795766

多谢。我去下软件试试。

qizc061076

shamohu 发表于 2013-2-3 19:28
可以试下1stOpt目标函数值(最小): 0.022433333333332
m: -16.1264616946215
bb: 1.19809382795766

我用1stopt算结果跟你的不大一样，你用什么优化算法？