Is Tensor Worth Fussing Over

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I tried to put everything here, but it did not work. So see attached.

hillyuan

1。张量理论本身应该算的上千锤百炼了，There are several approaches to defining tensors. Although seemingly different, the approaches just describe the same geometric concept using different languages and at different levels of abstraction这段话应该是没什么可以怀疑的。当然对于高校的教师来说，应用什么方式来教需要费一些思量。

2。至于一些细节问题，如说大回转是不是矢量，没必要深究。当然前提是你知道不能当真用矢量来计算回转。前一段翻北师大梁彬灿教授的广义相对论，老先生写了一大段论证联络是张量，一种依赖于坐标系的张量。我个人觉得在这种基本概念问题上标新立异实无必要，随大流就好，除非这种标新立异可以用来解决未解问题。

3。至于你写的Cauchy应力的标记问题，比如把3：3的二阶应力写为6；1的矢量（我举这个为例是因为有人这么做，比如说用于有限元程序中），这是没有问题的，前提是该矢量符合张量运算法则。当然t=sigma n的写法也要改写为矢量到矢量的变换形式。

4。张量的本质是component‐free（请注意抽象的张量定义一定不会出现坐标概念）。任何自然界的定理，法则都必须component‐free。如果你的公式不是component‐free，你一定错了！请参考
http://forum.simwe.com/thread-1060002-1-1.html
http://forum.simwe.com/thread-1061729-1-1.html

ggbbggb

hillyuan 发表于 2014-11-23 23:07
1。张量理论本身应该算的上千锤百炼了，There are several approaches to defining tensors. Although seem ...

Nice to see your insightful comments.

我举得Cauthy 应力例子来此小应变张量的形式，Epsilon (I,j)=1/2 (Ui,j+Uj,i), 这是应变张量，这里也有对应t=sigma n的形式， delta （i）= Epsilon (I,j)n（j），或component-free形式，delta=Epsilon n， delta 这里是unit relative displacement vector （该定义似乎来此 Malvern， 假定微元为一个unit），  如果我们按坐标转换形式来定义的模式来构造 一个对称的 3x3，把非对角元素变为  Ui,j+Uj,i  （也即工程剪应变），同时保持对角元素依然为1/2 (U1,1+U1,1)等，那么这样形成的 3x3 还能否叫 张量？ 按坐标转换法则我觉得没问题， 因为它符合 Ti’j’=Ci’iCj’jTij, 但是要去证明这个东西是一个线性算子，如t=sigma n 似乎不容易。这上面的例子是想延伸讨论
用坐标转换来定义 张量 的问题。如下
1 我认为坐标转换定义不逻辑。 如何从这个定义去证明应力是张量？印象中 Mase ，Fung都在Cartesian coordinate中证明了应力转换符合张量定义，但是这种证明是片面的 （因为只针对了直角坐标系），如何去证明应力在一般坐标系（曲线坐标之间）也有这个坐标转换 ，这绝非容易，也未见任何人去证明, 我认为无法从坐标转换定义的法则来证明这个。但这对component –free 形式，不是问题 （因为force是vector，force/area是vector， n是vector，这些都不需要坐标系，不需要bases）。
2 imechanica 上的大牛觉得 坐标转换定义 （如Fung）和Gurtin （linear transformation from E->E）是数学上等价的，有谁证明过这两种定义等价。后者可以容易推出前者，但前者推出后者恐怕要加很多“自以为显然”的东西。
3 记得很久前在physicsforums （也是讨论相对论的好地方）看到数学家用很巧的比喻来描述坐标转换定义张量 就好比 像鸭子那样走路的东西就定义为鸭子。

另外，前段时间看到imechanica的讨论（原贴在1楼有link），一部分集中在 t=sigma n （t和n不可以相加），这导致跟张量的定义 （E->E的线性算子，如Gurtin）不吻合。我现在的解释是 在定义张量为线性算子的时候，变量是数学上的，所以不带单位，同一个欧式空间E中的矢量a，b，c 可以分别代表不同的物理意义，但数学上还处在同一E.
注明：我现在已经不读再用坐标转换定义张量的连力书。但是最初是从Fung 1965开始学的， Fung的20页张量顶过别人的200页 （也包括分别20页的塑性力学，能量变分，有限变形等）

hillyuan

ggbbggb 发表于 2014-11-24 01:46
Nice to see your insightful comments.

我举得Cauthy 应力例子来此小应变张量的形式，Epsilon (I,j)=1/ ...

我举得Cauthy 应力例子来此小应变张量的形式，Epsilon (I,j)=1/2 (Ui,j+Uj,i), 这是应变张量
-〉Cauchy应力是对称的，写成"小应变张量的形式?"没有任何意义,。It's trival!

1. t=sigma n, 如果t，n是矢量，则根据商法则sigma必是张量

2。？坐标转换定义是linear transformation，linear transformation当然不止用于坐标转换，这个也有问题吗？

ggbbggb

hillyuan 发表于 2014-11-24 12:06
我举得Cauthy 应力例子来此小应变张量的形式，Epsilon (I,j)=1/2 (Ui,j+Uj,i), 这是应变张量
-〉Cauchy应 ...

"？坐标转换定义是linear transformation，linear transformation当然不止用于坐标转换，这个也有问题吗？"

我可以据此得出 坐标转换法则定义张量 跟 linear transformation 来定义张量，不是数学上等价的？

hillyuan

ggbbggb 发表于 2014-11-24 12:13
"？坐标转换定义是linear transformation，linear transformation当然不止用于坐标转换，这个也有问题吗 ...

我看了你给的iMechanica的连接，猜测你是要问SUO问及的相似问题。在其一系列问答中，可以看出Amit Acharya和Arash Yavari的数学非常好，我觉得他们已经非常好地回答了这一问题。

ggbbggb

hillyuan 发表于 2014-11-24 20:59
我看了你给的iMechanica的连接，猜测你是要问SUO问及的相似问题。在其一系列问答中，可以看出Amit Achary ...

我前段时间才看了它们的讨论，非常长，我也不是特别懂那些数学几何中的一些说法，Arash 好像跟过Marsden （已经过世了），所以本身是数学的，但是他在GIT土木系。Amit是非数学的，但论证很严密，Amit和yuan老师可能有些共同特征。SUO作为那么大一个教授，来谈和引发一些最基本问题的本质，是非常可贵的。

有本书可能符合袁老师的口味 Frankel，Geometry of Physics （现在好像出了第三版，2nd edi 有电子版）。一个数学专业朋友推荐的，所以我用它查阅了一下现代数学张量的精确定义。

国内的张量书中非常少见到张量作为线性算子这种定义，曾看到比较早期的一个没有封面和作者的电子版书用了现代数学语言来写张量分析 （有印象谁提过那书作者其实是郭仲衡）。黄老那本主要还是讲坐标变换。

hillyuan

Frankel的Geometry of Physics是一本数学家给工程师写的书，好懂，值得一读。

早期的力学研究者对微分几何那一套不是很懂，我记得在iMechanica看到过" 既懂力学又懂数学的只有J.C.Simo一人"的说法，真心可惜Simo的英年早逝！

在我看到的国内作者的著作中，郭仲衡无疑是数学水平最高的。可惜也是英年早逝。

ggbbggb

一篇关于Simo的介绍

http://blog.163.com/zpfzcjndx@12 ... 681201482575327358/