诡异的收敛率

chentao807

我们知道有限元的收敛率和单元的形状函数次数p和网格尺寸h两个因素有关，对于泊松方程而言，场变量的L2范数误差E（精确解和近似解之差的平方和在区域上求积分）与p和h有这样的关系E<C*h^p，这里C是个常识。
这里考虑单位正方形区域上泊松方程，如附图。网格采用均匀正交的结构网格。


对于第一个问题的收敛率
横坐标是网格尺寸取log10缩放，纵坐标是误差取log10，可以看出收敛率是1,2,3阶（对应于线性，二次和三次拉格朗日单元），这一点是和理论一致的。


但是对于问题2，立马收敛率就很诡异了。


也就是在网格很粗糙的方法已经很精确，随着网格细化结果反而更差。同样的结论已经用Comsol验证了。

chentao807

这里附上Comsol做的两段代码，用3.5的朋友可以测试一下。另外各位帮我看一下代码是否有问题。

第一个问题

1. clear all; clc;
   
2. hmax = ones(1,5)./[5 10 20 40 80];
   
3. mat = ones(1,5);
   
4. for s = 1:5
   
5.     fem.geom = rect2;
   
6.     fem.mesh = meshinit(fem, 'hmax', hmax(s));
   
7.     fem.equ.f = '2*pi^2*sin(pi*x)*sin(pi*y)'; fem.equ.c = 1;
   
8.     fem.bnd.h = 1; fem.bnd.r = 'sin(pi*x)*sin(pi*y)';
   
9.     fem.shape = 2;
   
10.     fem.xmesh = meshextend(fem);
    
11.     fem.sol = femstatic(fem);
    
12.     mat(s) = postint(fem, '(u-sin(pi*x)*sin(pi*y))^2');
    
13. end
    
14. loglog(hmax, mat);

复制代码

第二个问题

1. clear all; clc;
   
2. hmax = ones(1,5)./[5 10 20 40 80];
   
3. mat = ones(1,5);
   
4. for s = 1:5
   
5.     fem.geom = rect2;
   
6.     fem.mesh = meshinit(fem, 'hmax', hmax(s));
   
7.     fem.equ.f = 1; fem.equ.c = 1;
   
8.     fem.bnd.h = 1; fem.bnd.r = '(1-x^2-y^2)/4';
   
9.     fem.shape = 3;
   
10.     fem.xmesh = meshextend(fem);
    
11.     fem.sol = femstatic(fem);
    
12.     mat(s) = postint(fem, '(u-(1-x^2-y^2)/4)^2');
    
13. end
    
14. loglog(hmax, mat);

复制代码

chentao807

这个问题没人有兴趣嘛？